研究生《数值分析》教学大纲课程名称：数值分析课程编号：S061005课程学时：64 学时课程学分： 4适用专业：工科硕士生课程性质：学位课先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计一、课程目的与要求“数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。

主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。

内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。

通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。

力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。

二、教学内容、重点和难点及学时安排：第一章• 数值计算与误差分析( 4学时)介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。

第一节数值问题与数值方法第二节数值计算的误差分析第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介重点：误差分析第二章• 矩阵分析基础( 10学时)建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。

矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。

第一节• 矩阵代数基础第二节• 线性空间第三节• 赋范线性空间第四节• 内积空间和内积空间中的正交系第五节矩阵的三角分解第六节矩阵的正交分解第七节矩阵的奇异值分解难点：内积空间中的正交系。

矩阵的正交分解。

重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。

第三章• 线性代数方程组的数值方法( 12学时)了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。

高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。

在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。

掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。

掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。

了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。

掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。

迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。

熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。

了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。

迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。

对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。

而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。

第一节求解线性代数方程组的基本定理第二节高斯消元法及其计算机实现第三节矩阵分解法求解线性代数方程组第三节• 误差分析和解的精度改进第四节• 大型稀疏方程组的迭代法第五节• 极小化方法难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。

迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。

重点：迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR迭代法。

第四章• 最小二乘问题( 2学时)了解最小二乘问题的基本原理，掌握求解满秩线性最小二乘问题的数值解法。

第一节求解线性最小二乘问题的一般原理第二节矩阵的广义逆第三节最小二乘问题解的基本定理第四节满秩线性最小二乘问题的数值解法重点：矩阵的广义逆，满秩线性最小二乘问题的数值解法第五章• 函数插值( 8 学时)代数插值是函数逼近的重要方法，也是数值积分、数值微分及微分方程数值解法的基础。

常用的插值法有适用于非等距节点的拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，还有适用于等距节点的牛顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式。

为了插值多项式能与被插函数较好地吻合，我们介绍了埃尔米特插值多项式。

鉴于高次插值的不稳定性，在插值点较多情况下，一般采用分段低次插值法，此类方法计算简单且具有良好的稳定性和收敛性，应用较广泛。

样条插值函数也是分段插值函数，它可以保证分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数，因此具有较好的光滑性，收敛性和稳定性。

掌握上述常用插值方法及其优点、缺点，能够根据实际问题选择适当的插值方法进行函数逼近，并且能够编写程序。

第一节两种基本的代数插值：Lagrange 插值，Newton 插值第二节带导数条件的Hermite插值第三节低次插值第四节三次样条插值难点：拉格朗日插值，牛顿插值，埃尔米特插值，三次样条插值。

重点：拉格朗日插值，牛顿插值，埃尔米特插值，低次插值。

第六章• 函数的最佳逼近( 6学时)函数逼近问题的是对于给定函数f(x)，在另一类较简单的函数类中找到一个函数p(x)，使p(x)与f(x) 之差在某种度量意义下最小。

最常用的度量标准有两种，即一致逼近和平方逼近。

如果用代数多项式作为逼近函数，则有最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。

曲线拟合的最小二乘法也是函数逼近的常用方法，即对于给定的一组数据，根据最小二乘原理在某一函数类中选择函数，使其拟合所给数据，在工程中具有广泛的应用。

熟练掌握最佳平方逼近方法及曲线拟合的最小二乘法，对于给定的一组数据，能够根据最小二乘原则在某一函数类中选择函数，与其所给数据组拟合来解决一些实际问题，并能够编写最小二乘法程序。

熟知正交多项式的有关性质，能用正交多项式获得最佳平方逼近多项式。

第一节最佳一致逼近第二节内积空间的最佳平方逼近第三节连续函数的最佳平方逼近第四节离散数据的最佳平方逼近第五节非线性最小二乘问题难点：连续函数的最佳平方逼近，离散数据的最小二乘曲线拟合，极小化插值法。

重点：连续函数的最佳平方逼近，离散数据的最小二乘曲线拟合，极小化插值法。

第七章数值积分与数值微分( 8学时)用插值多项式近似代替被积函数，从而导出积分与微分的近似计算公式是数值积分与数值微分的基本方法。

对于数值积分，在等距节点下，可导出牛顿- 柯特斯公式，此类公式构造方便，算法简单；在不等距节点下，可导出高斯求积公式，其精度较高，但节点没有规律，构造的技巧性较高。

对于数值微分，用插值多项式的导数近似代替原函数的导数是最常用的方法。

外推法的基本思想即可用于数值积分，推导出精度较高，稳定性好的龙贝格算法，也可用于数值微分，得到外推算法，精密地求得导数值。

掌握数值积分的基本思想，基本公式以及处理问题的基本方法。

理解代数精度的概念及插值型数值求积公式的概念。

注意牛顿- 柯特斯求积公式与高斯求积公式的异同点。

掌握各类求积公式的构造方法。

掌握高斯型求积公式的一些特点。

能熟练运用求积公式进行计算，并能够编写复合求积算法和龙贝格求积算法程序。

第一节等距节点的牛顿—柯特斯公式第二节提高求积公式精度的外推方法第三节高斯型求积公式第四节数值微分难点：牛顿- 柯特斯求积公式。

龙贝格求积算法。

高斯求积公式。

重点：牛顿- 柯特斯求积公式，高斯求积公式，数值微分。

第八章非线性方程组的数值方法( 6学时)了解求解非线性方程和非线性方程组的常用数值方法。

掌握迭代法的基本原理。

熟练掌握牛顿法及各种变形算法。

第一节简单迭代法及其收敛性第二节非线性方程求根的迭代法第三节求解非线性方程组的Newton 型算法第四节无约束优化算法难点：非线性方程求根的迭代法，非线性方程组的简单迭代法及其收敛性。

重点：非线性方程求根的迭代法，非线性方程组的简单迭代法及其收敛性，牛顿法迭代法。

第九章代数特征值问题( 2学时)乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的方法。

其特点是不破坏原始矩阵，直接使用原矩阵进行计算。

而反幂法常用于求按模最小的特征值及其相应的特征向量，其有效性依赖于特征值的分布情况。

雅可比方法、QR 方法都属于变换法，经过正交相似变换，将原矩阵化为易于求特征值的特殊形式。

优点是收敛速度快，稳定性好。

第一节特征值的估计和数值稳定性第二节幂法和反幂法第三节求矩阵全部特征值的QR 方法第四节实对称矩阵特征值的QR 方法难点：QR方法。

第十章常微分方程初值问题的解法( 6学时)欧拉法和改进的欧拉法、梯形方法是求解常微分方程初值问题的基本方法。

龙格- 库塔方法是最常用的方法，掌握二阶龙格-库塔方法的推导，能够求解微分方程，并会编写龙格-库塔算法程序。

线性多步法的计算量较少，但一般不能自行启动，需借助单步法提供初值。

熟练掌握单步法的收敛性和稳定性。

第一节求解初值问题数值方法的基本原理第二节高精度的单步法第三节线性多步法难点：欧拉法和改进的欧拉法，四阶经典龙格-库塔公式，线性多步法重点：欧拉法和改进的欧拉法，线性多步法三、教材教材：文世鹏编著，《应用数值分析》（第三版），石油工业出版社，2005 年。