z z z （3 .设xz＝y＋ye ，求 ， ， ） x y xy
2
z
x2
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8.设z＝f（x－y，xy ），f具有二阶连续偏导， z 求 xy
2
2
9.设z＝f（ x y），f可微，则dz＝（ 3
2
）
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10.
11.
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多元函数微分学 及其应用 习题课
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内容小结：
1. 微分定义:
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
f x ( x, y )d x f y ( x, y ) d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导 方向 导数 存在
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法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
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2) 显式情况：. 空间光滑曲面
在圆域（x－ 2 2 ） ＋（y－ 2 2 9上的最值。 ）
（最大值为 ，最小值为） 25 0
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24、设三角形的三边长分 1、 3， 别为 2、
面积为 ，试求该三角形内一点 3 到 三边距离之乘积的最大 值。
提示：u＝xyz且x＋ y＋ z＝ 3 2 3 2 2S 2 3 x＝y＝z＝ ＝ 3abc 3 1 2 3
切线方程 法平面方程
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
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（2）. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 . 空间光滑曲面 曲面 在点 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法向量
切平面方程
n ( f x , f y ,1)
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
法线方程
x x0 y y0 z z0 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
( A).
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
f ( x , y ) 存在
( B ). f ( x , y ) 连续
(C ). f ( x , y ) 的任何方向导数存在
( D ).以上结论都不成立
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4.
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5.
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多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
• 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上 可能的极值点)
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1.证明f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处可微的方法是:
( A) 偏导数 f x , f y 存在
( B ) 当x 0, y 0时, z ( f x x f y y ) 0
(C ) 当x 0, y 0时, z ( f x x f y y ) ( x ) ( y )
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1 25、经过（ ， ）的所有平面中， 2 1、 3 哪一个平面与三个坐标 面所围成的
立体的体积最小。
（a＝ ，b＝ ，c＝） 6 3 1
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26、求内接于定圆的三角 形中面积最大者
2 （＝ ＝＝ ） 3
27、在圆锥面 ＝ x 2 y 2 与平面z＝ 所为成 z ＋ 3
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29.求两曲面x＋ y＝ 和x ＋ y ＋z ＝ 2 1 2 1
2
2
2
的交线距原点最近的点 。
30.求中心在原点的椭圆 x ＋ xy＋ y ＝ 5 4 8 1 的长半轴和短半轴
2 2
1 1 （长半轴a＝ ，短半轴b＝ ） 2 3
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31.证明不等式 e ＋xlnx－x－xy 0，（x 1，y 0 ）
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f cos cos l x y
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6. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f ,f ,f grad f x y z
• 二元函数 在点 处的梯度为
偏导数连续
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3. 隐函数存在定理 4. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
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5. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
y
证： 令f（x,y）＝e ＋xlnx－x－xy， 只须证明函数 （x,y）在区域 f
y
D （x,y） x 1，y 0 上有最小值0。
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2 2
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14.利用变换u x ay, v x ay，
2z 2z 2 变换方程 2 a 0 2 y x
15.证明：函数 f ( x, y )只是ax by的函数 z
z z 的充要条件是 b a x y
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的锥体内作出底面平行 xoy坐标面的长方体， 于
求此长方体的体积的最 大值。
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28、求内接于椭圆 ＋ y ＝ ， x 3 12
2
2
其底边平行于长轴的最 大的 等腰三角形的面积
0 3 x＝ x＝ （不合题意，舍去） ， ， 2 1 y＝ y＝－
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2 2
0
( D) 偏导数 f x , f y 连续, 否则不可微
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2. 若 f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处不连续，则
( A).
lim , y ) f ( x, y ) 必不存在 ( x , y ) ( x
0 0
( B ). f ( x0 , y0 ) 必不存在
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19.
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20.
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21.求函数u＝xyz在点M（3,4,5 ）处沿锥面
z＝ x ＋y 的法线方向的方向导数 。
2
2
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22.求z＝ 4 x －y －
3
2
在圆域x 2 y 2 1上的最值。 ＋
23.求z＝x 2 y 2 ＋
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z2 2 x2 y2 ＝＋ ＋ 16.求曲线 ，在（ 1,2, 7 ）处的切线 x＝ 1
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17.
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x 2 y 2 z 2 14 ＋ ＋ ＝ 18.求曲线 在（ ）处的 3,2,1 2 3 8 x＋y ＋z ＝ 切线和法平面方程。
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12.设f＝e yz ，z由x＋y＋z＋xyz ＝ 确定， 0 求f （ ， 1 ，－） （－） x 01 1
x
2
2
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13.函数z＝z（x，y）由方程yz 2 xz 3 10 － ＝ 确定。
z z z z 求 ， , , 2 x y xy x
grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 函数在某点处方向导数的最大，最小值问题
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7.几何应用：
（1）. 空间曲线的切线与法平面
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t ) 切向量 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))