N AD
N N AB AC
A
A
A3

A A2
A1
P
P
B
D
C
（三）补充方程
由上面分析过程知,各杆变形量为：
AB杆变形量：l AB AA ；AD杆变形量： 1


A A3 A1
A2
l AD AA2；AC杆变形量：l形几何（协调/相容）关系：
P
图（a）
问题可解： N AB N AC
P 2 cos
二、问题的提出 在此结构竖直方向加上材料和截面
尺寸与其他两杆相同的等直杆AD后（这是工程中常见 的三杆桁架结构），求此时各杆内力 。
B D C


A
P
N AD
解： 静不定问题：仅用静力平衡 （一）静力学关系 方程求解不出结构所有未知 以节点 A为研究对象，其受力情况如 力的问题。也称为超静定问 题。相应的结构称为静不定 图（ b）所示，则列平衡方程有 结构或超静定结构。
x AC AB y AC AD AB
N AB
A
N AC
（1） F 0, N sin N sin 0 0, N cos N N cos P 0 （2） F 简单静不定问题的解法：从
P
图（b）
变形几何方面寻求补充方程 两个独立方程含有三个未知量，仅凭静 力平衡方程不能求出该问题的全部解。 与平衡方程联立求解。
变形图
补充方程
例：求图示杆的支反力。
R A RB P 解：静力平衡条件：
(1)
变形协调条件： l l AC l BC 0
R A l1 RB l2 0 引用胡克定律： EA EA
由此得：
R A l1 RB l2
(2)
联立求解(1)和(2), 得：
l2 l1 RA P , RB P l l
拉压静不定问题
一、引例
B D C
图示结构,若各杆件为等直杆且材料 和截面尺寸均相同,抗拉压刚度为 EA, 杆长均为 l , 求各杆的内力。 对于该问题，取节点A作为研究对 象，受力如图(a)所示，列平衡关系 式有：


A
N N AB AC
A
P
F F
x y
0, N AC sin N AB sin 0 0, N AC cos N AB cos P 0
N AB N AC P cos2 3 1 2 cos
N AD
P 1 2 cos3
至此问题得以解决，相应地可以进行应力、应 变、强度计算（包括强度校核、截面尺寸设计、许 用外载确定）等后继计算工作。
三、求解简单静不定问题的基本步骤为:
受力图
变 形 相 容 方 程 物理 方程 平衡方程 联 立 求 解
AA 即lAB lAC 1 AA 3
B D C
在小变形下， AB杆和AC杆 变形后，其铰接点按“以切 代弧法”确定为过A1、A3作 AA1和AA3垂线的相交点A2。 又因各构件变形后仍铰接于 一点，即各构件的变形要相 容、协调，故A2点也是AD杆 变形后的铰接位置。再按 “以切代弧法”知AD杆的变 形量为AA2。
解： 变形协调条件：
lT l N
Rl 即： l T EA
R E T ( 压） A
应用一：装配应力问题
求图示2杆与1、3杆装配后引起的应力。
解：静力平衡条件：
N1 N 3 2 N 1 cos N 2
变形协调条件：
l1 l 2 h cos
引用胡克定律：
N 2 l cos N 1l h EA EA cos
应用二：温度应力问题
温度升高T
已知：构件的线膨胀系数 α ——单位长度的杆温度升高1℃时杆的伸长量。 求：由于温度改变后引起该构件横截面上的正应力。
各杆变形量如何确定？
按照变形与受力相一致的原则对各杆变形作定 性和定量分析： （1）定性方面：各杆在内力作用下沿轴向伸长 或缩短。 （2）定量方面：各杆在内力作用下沿轴向的伸 缩量须满足本构关系（或物理关系）。 （二）本例中杆件的变形量应满足的物理关系：
Nl l EA
（3）
由式（1）和式（3）知AB杆和AC杆的变形量相等， 即:
l AB l AC l AD cos
将物理关系式（3）代入（4）得
（4）
N ABl AB N AC l AC N ADl AD cos EA EA EA
化简后得补充方程：
N AB N AC N AD cos2
（5）
最后，联立式 (1)、 (2) 、(5)求解得：