2020年华师一附中4月月考高一数学试题一、单选题（每题5分，共60分）1．在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C =A ．30°B ．45︒C ．150︒D ．135︒ 2．已知1tan 2a =，则cos2sin 2a a +=（ ） A ．75 B ．15 C ．15- D ．733．下列命题中正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，0c <，则a c b c +<+D >a b >4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．16a 2B ．8 a 2C ．8 a 2D ． 4a 25．若1cos 7α=，()sin αβ+=，02πα<<，02πβ<<，则角β的值为（ ） A ．8π B ．4π C ．6π D ．3π 6．在ABC ∆中，32,3==BC AB ，则角C 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πC ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形8．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ）A ．6(2,)5-B ．6[2,]5-C ．6[2,)5-D ．{}6[2,)25-⋃9．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若232cos cos 22A B C -+=，且ABC ∆的面积为214c ，则C =（ ） A ．π3 B ．π6 C ．π6或5π6 D ．π3或2π310．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．611．正四棱锥P ABCD -，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π12．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．14．已知函数()21sin 222x f x x =+-若()13f α=，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______. 16．在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论：①由已知条件这一三角形被唯一确定； ②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =； ④若8+=b c ，则ABC ∆的面积是2． 其中正确结论的序号是_____________.三、解答题（本题共6题，共70分）17．（10分）（1）设0x ≥，求函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值. （2）解不等式：2112x x +≥-18．（12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B ，2c =，求ABC ∆的面积． 19．（12分）已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； ()2若7322410f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin α的值． 20．（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，且22223sin b A c a +=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.21．（12分）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（23.求圆柱的表面积.22．（12分）已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范。

2020年华师一附中4月月考高一数学试题参考答案1．B 2．A 3．D. 4．A 5．D 6．B7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B13．18π 14．79- 15．1416．②③ 17．（1）3（2）(](),32,-∞-⋃+∞（1）由题意，设1t x =+()1t ≥，则1x t =-， 则(2)(3)1x x y x ++=+()()12t t t ++=232t t t++=23t t =++3≥， 当2t t=时，即t =时，即1x =时取等号， 所以函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值为3. （2）由不等式2112x x +≥-，可得2131022x x x x ++-=≥--，解得3x ≤-或2x >， 所以不等式的解集为(](),32,-∞-⋃+∞. 18．（1）π6C =；（2）1（1）由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得22()a a b c ＋=，即222a b c +-=由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋，0πC <<Q ，π6C ∴=. （2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===，2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==+111sin 4(11222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯= 19．（1）3()4=max f x，()min f x =；（2）2325 解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121116222222222sin x cos x cos x cos x sin x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭, 131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫==+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 21,32sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦,则3()4max f x =，()2min f x =-； ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．（1）3π； （2）a =，14. （1）由已知，得：222sin 3b bc A c a -+=，由余弦定理，得：222sin 23b c a A bc +-=，cos sin 3A A =，即tan A =()0,A π∈,所以3A π=.（2）2222cos a b c bc A =+-⋅214922372a ∴=+-⨯⨯⨯= a ∴=，又sin sin a b A B = 2sin B = sin B ∴=，b a <Q 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ cos B ∴==sin22sin cos B B B ∴==,1cos27B =，()sin 2B A ∴-sin2cos cos2sin B A B A =- 1127=-=.21．（1）π （2）(2π+ （1）244r l ππαπ=== （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ,则2,4,R OC AC AO =====易知AEB AOC ∆∆:AE EB AO OC ∴=,12r r =∴=222,2S r S r h πππ====g 底侧(22S S S ππ∴=+=+=+底侧22．（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤（Ⅰ）Q ()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤， ∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤， 综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤ . （Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，Q 14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ 4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .。