题目：水产的养殖与捕捞的数学模型摘要对于养殖场中虾的养殖和捕捞问题，建立了各量的基本模型。

对三种不同情况，应用微分法和规划论，分别建立了相应的微分规划模型、积分规划模型和变分法模型。

再应用微分法、变分方法及Maple数学软件进行求解，对不同的情况得出了相应的数值结果。

关键词：虾量;养殖费；养殖策略；捕捞策略；最大利润㈠问题的提出本问题来源于广东省超关市某水产养殖场的实际问题。

人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。

而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。

但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。

现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。

根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：①这种虾的自然死亡率为λ，λ=0.05（1/月）；②环境容许的最大虾量为N，N=410（斤）；③虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量成正比，比例系数为E。

这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的频率分别为0.2、0.5、0.3.而捕捞成本为β，β=0.1(元/斤)；④小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元。

试解决以下问题:1、若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费与该月虾量成正比，比例系数为a, a=0．2(元／斤·月)。

试制定捕捞策略(确定E)使虾的月利润最大；2、若某人承包此养殖场5年，且月养殖费与该月虾量成正比，比例系数为a，又取E=0．08(1／月)。

试制定养殖策略(确定a)，使5年的总利润最大。

当初始虾量为10∧3斤，确定获利最大的开始捕捞的月份；3、若某人承包此养殖场5年，每月按强度E=0．1(1／月)捕捞，试制定养殖策略(确定养殖费)，使5年的总利润最大。

㈡模型的假设(1)虾群是一个独立的生态群体，且不与其它生物发生竞争；或者虽有竞争，但其影响限于虾的自然死亡率之内-l2；(2)虾的捕捞采用固定努力量捕捞，每月的捕捞强度系数E是常量；(3)虾的销售不成问题，即打捞的虾都能卖出，且价格不变。

销售成本费用忽略不计；(4)用(t)表示养殖场中第t月的虾量(单位：斤)，用Y(t)表示第t月的月养殖费(单位：)。

在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费成正比，其比例系数是的线性减函数：当达到时，此函数为0；当为0时，此函数为常数。

㈢问题的分析及基本模型该问题是一个动态变化有约束条件的最优化问题。

在养殖费与月虾量有关的情况下，对第一问，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费与该月虾量成正比，在满足此条件下用动态平衡原理得出一个关于微分方程的约束条件，制定出捕捞策略，使虾的月利润最大；对第二问，由于采用了固定努力量的捕捞方式，承 包此养殖场5年，且月养殖费与该月虾量成正比，这样就可建立微分约束的积分规划模型。

给定了一个初始条件后，可用Maple 数学软件求解；对第三问，同样采用固定努力量捕捞，要 制定养殖策略(确定养殖费)，使5年的总利润最大。

我们用变分法，把 目标函数与约束条件结合起来，转化为求泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组问题，用Maple 数学软件可计算出结果。

基于假设条件及以上分析，我们可以建立以下基本模型：(1)自然死亡规律：);)(()(t x dtt dx λ-= (2)捕捞规律：);)(()(t x E dt t dx = (3)由假设4可设养殖场虾量 (t)的增加速度与月养殖费Y(t)成正比的比例系数函数为：P(x(t))=A —Bx(t)，又由题设条件得：P(x(t))= a(1-Nt x )() (4)在捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量随时间变化的数学模型为：);()()())(1()(t x E t y Nt x a dt t dx +--=λ (5)设虾的价格是一随机变量ζ ，由题设知：ζ的取值为5、7、10。

其出现的概率分别为：P(ζ=5)=0．2，P(ζ=7)=0．5，P(ζ=10)=0．3，则ζ的数学期望(平均值) 为：E ζ =5×0．2+7×0．5十10×0．3=7．5．即虾平均每斤的批发价格为7．5元。

记为P 。

㈣ 模型的建立及求解4．1关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略每月的虾量相等⇔ 0)(=dt t dx ⇔0)()()())(1(=+--t x E t y Nt x a λ 又由题设条件：y(t)=ax(t)。

得0)(=dt t dx ⇔0)()1(=+--x E x Nx a λα 舍去）。

(0,21=--=x x a E a Nαλα ,1aE a N x αλα--=为每月虾量相等的养殖场虾量。

每月虾量相等的最大利润捕捞模型为：λααλαβ-<--=--=a E aE a N t x t s t ax t Ex p E R ,)(..)()()()(max 将a E a N t x αλα--=)(代入R(E)中得R(E)=（pE-βE-a ）aE a N αλα--易得最大值点为：)(2)(210βλα-+-=p a a E 。

由已知数据：p=7.5, β=0.1,a=0.2,410,1,05.0===N αλ得到捕捞强度为0885.00≈E （1/月）；每月养殖场最大虾量为斤）(30750≈--=aE a Nx αλα；最大月利润R(82.1398)0≈E (元）。

4.2承包五年捕捞强度E=0.08（1/月）的养殖策略及开始捕捞时间承包五年捕捞强度E=0.08（1/月）的养殖策略的数学模型为： )()()())(1(..)()()(max 600t x E t x N t x a dt dx t s dt t x a E pE a R +--=--=⎰λαβ上述约束条件中微分方程的解为：t e a EN N aN a E a N t x E a x x x )(000)()()(------+--=λααλααλα 将上述x(t)带入目标函数R （a ）中，并利用积分公式： )]([1216060213160021333C C l C C l C C C C n n C eC e t C e dt+-+=+---⎰ 对R （a ）的解析式关于a 求导，并令0)(=daa dR ，再确定R （a ）的最值。

由p=7.5, β=0.1,410,1,05.0===N αλ，E=0.08,应用Maple 数学软件求解得到如下结果：比例系数a ≈0.3006239887（元/月/斤）；养殖场虾量水平x(t)≈5313.91（斤）；5年的最大利润R ≈82398.93829(元)。

当x(0)=1000时将N=10000,α=1,a=0.2774，λ=0.05,x(t)=5313.19代入关系式：te a N aN a a N t x a )(333)10(10)(10)(λααλααλα----+-= 解得t ≈11.3677（月）≈341（天）即当初始虾量为1000斤时，获得利润最大的开始捕捞月份为第11.4月。

4.3承包五年捕捞强度E=0.1(1/月)的一般养殖策略若某人承包此养殖场5年，每月按强度E=0.1捕捞，使5年的总利润最大的养殖策略的数学模型为：)(15.0)()10)(1()(..)]()(74.0[))((max 4600t x t y t x dt t dx t s dt t y t x t y R --=-=⎰此数学模型是一个泛函数极值问题，可用变分法求解。

对于条件极值的泛函数问题：dt t t dtt dx y x t f t u y x t F t y Q )])(),,()((),,([))((21⎰-+=，我们应用拉格朗日成数法化条件极值为无条件极值问题。

引入乘子函数u(t)构造泛函： 作哈密尔顿函数H （t,x,y ）=F(t,x,y)+u(t)f(t,x,y)。

将此问题的数据代入上式得：H （t,x,y ）=0.74x(t)-y(t)+u(t))](15.0)()10)(1[(4t x t y t x -- 则由欧拉方程得： )(15.0)()10)(1()(0)(4t x t y t x dt t dx yH xH dt t du --==∂∂∂∂-= 用Maple 数学软件解得：z(t)≈5497．75，．y(t)≈1831．67 故当某人承包养殖场5年，每月按强度E=0．I(1／B)捕捞时，每月投入1831．67元的养殖费，5年的总利润将最大．㈤、模型评价5．1模型优点：1）模型具有坚实可靠的数学基础学理论已经证明这是设计筒仓内产品分布与生产方案的有效办法；2）建立的模型方法简单易行，且易应用于现实生活；3）通过该模型计算出的结果符合实际生活，具有一定的可信度5.2模型缺点：考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。

仅使用周期内利润具有一定的局限性，考虑的情况比较简单。

㈥参考文献：[1] 姜启源编．数学模型 (第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1993[2] 刘来福，曾文艺编著．数学模型与数学建模 [M]．北京：北京师范大学出版社，1997[3] 魏宗舒．概率论与数理统计教程 [M]．北京：高等教育出版社，1983[4] 王高雄等．常微分方程 [M]．北京：高等教育出版社，1983附录表虾类的价格小虾中虾大虾价格（元） 5 7 10 出现概率0.2 0.5 0.3 数学期望7.5。