§1 归纳推理
(2)差异法 从两种场合之差异找出因果联系。 场合 各种条件 被研究对象 Ⅰ A，B，C a Ⅱ B，C b或 a不出现
∴A是a的原因 (3)求同差异共同法 探讨求同法与差异法二者结合寻找因果联系。 场合 各种条件 被研究对象 Ⅰ A，B，C a Ⅱ A，P，E a Ⅲ F，B b或a不出现 Ⅳ M ，E c或a不出现 ∴A是a的原因
数学方法论
第三章 数学中的逻辑推理
0 数学思维概述
一、思维与数学思维 1.思维 思维是多种学科的研究对象。从心理学的角度分析，“思维是人脑对 客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。” 思维具有 （1）问题性（2）间接性（3）概括性（4）语言性 思维的分类 ： ★根据思维的抽象程度分类，思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象 逻辑思维。
§2 类比推理
类比推理，是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出 它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理方法。它既包含从特殊到特 殊，又包含从一般到一般的推理。其特点是：利用某些客观事物间的相似性， 以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段。推理前提所提供 的仅仅是两个(或两类)事物的一些相同点。以此为据，进而推出另一属性也相同。 其推理根据是不充分的，它无法保证已知相同的属性和推出的属性之间有必然 的联系。所以，它是一种或然推理。
§1 归纳推理
2．类分法 所谓分类，用集合语言可定义如下：
2，…，n)为该分类下的一个类。
交直线PQ于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆。
§1 归纳推理
二、不完全归纳法 根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都 具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。 高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作 为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们 提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄 里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经 严格数学推导，设法给予证明的。 在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。 1．枚举归纳法 枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最 后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归 纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。
数学思维概述
◆直觉思维指人们运用视觉形象或表象，经过高度的简缩思维活动，迅速 地、直接地、综合地作出判断的思维方式。其特征主要有以下两个方面：
第一，思维的简缩性。通常可以用一种抽象的度量单位来测量数学思 维的长短，这个度量单位称为思维链。对同一个问题有不同解决方法， 也就是存在长度不同的思维链。
第二，思维的整体性。思维者不着眼于细节的逻辑分析，而是从整体上 把握其本质。 著名数学家庞加莱曾对直觉思维的整体性作过精彩的描述：‚一个数学 证明并不是若干个三段论的简单并列，而是众多的三段论在确定的序之 中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身主要得多。一旦 我们感觉到它，也就是说，直觉到这个序，以至我们一眼之下就能领悟 了整个推理，我们就再也不必害怕会忘掉任何元素。因为每个元素都将 在序中各得其所，而这是不需要我们付出任何记忆上的努力的。‛
∴B对象可能有属性d′(d′与d相同或相似)
第三类：对称类比。它是根据对象属性之间具有对称性而进行的推理。 它比前二类更可靠些，但一事物的对称关系不一定恰好适合另一对象。
类比推理
第四类：协变类比，又称数学相似类比。它是根据对象属性之间具有某种确定的 协变关系，即函数变化关系而进行的推理。由于它定量地描述了对象属性之间的 关系，因此比前类类比前进了一大步。这种类比推理有两种形式：
类比推理
二、类比推理的作用
1．类比是对知识进行理线串点，融汇贯通的好办法。 与识如 认的平 识类面 。比几 如，何 下使、 表我线 所们性 示加代 ：深数 对与 高泛 等函 数分 学析 的有 理关 解知
类比推理 2．类比是富于创造性的方法之一 拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类 比。” 3．借用简化的类比形式，可望形成有关问题答案的猜想，从而找到有用的探索 方向 例 已知x+y+z=x· y· z，求证
§1 归纳推理
(4)共变法 从某一现象变化引起的另一现象变化中，找出两现象之间的因果 联系。 场合 各种条件 被研究对象 Ⅰ A1；B，C a1 Ⅱ A2，B，C a2 Ⅲ A2，B，C a3 ∴ A是a的原因 (5)剩余法 在一组复杂现象中，把已知因果联系的现象减去，探求其他现象的 原因。 场合 各种条件 被研究对象 Ⅰ A，B，C a，b，c Ⅱ B b Ⅲ C c ∴ A是a的原因
5．数学思维的批判性 思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思
维材料和精细地检查思维过程的智力品质，反映了思维活动中独立分 析和批判的程度。它表现为善于独立思考、提出疑问，能及时发现和 纠正错误；能够自我地对解决问题过程进行评价，自觉调控思维进程； 能够对问题本身进行评价，从而对问题进行推广。
§1 归纳推理
注 数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出 数学思维特有的规律。数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动 包括研究数学和学习数学的活动。不论是研究数学还是学习数学，数学思 维都贯穿在发现问题和解决问题之中。 数学思维的成分主要包括逻辑思维、形象思维和直觉思维。概括如下： ◆逻辑思维又称抽象思惟，是思维的一种高级形式。其特点是以抽象的概念、 判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体 化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。 ◆形象思维是凭借事物的具体形象和表象的联想来进行的思维。它具有层次 性，较低层次的形象思维主要以物体的具体形象作为思维材料，其思维过程 仍保持着思维与实际动作的联系，接近于具体的动作思维。
由于属性a、b、c与a′、b′、c′相似，∴对B可能有f( x′)=0
类比推理
第五类：综合类比。它是根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理。 A属性a、b、c、d及它们之间的多种关系
由a、b、c、d的量值可能推出a′、b′、c′、d′的相应量值 2．类比推理的原则 第一，类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性以及它们 之间的相关程度，如果相似属性与相关程度越高，那么类比推理的结论的可 靠程度就越大。 第二，类比推理也是信息从模型向原型的转移，是以对一个系统的研究 作为获得关于另一个系统的信息的手段。在数学中，常表现为思路方法的转 移。如抽象空间中的距离和初等代数中实数的绝对值、复数的模的概念，从 实质上讲是一致的。
考虑到直接证明困难，但通过细分析左端每一个分式，与二倍角的正切公式
的右端相似，于是联想到可用三角函数换元法证。
类比推理 例 求自然数平方的倒数和
这是一个曾使雅各布•伯努利感到无能为力的数学问题，他曾经写道：‚假如有人 能够求出这个我们直到现在还未求出的和，并能把它通知我们，我们将会感谢他。‛对 于这个问题，欧拉发现了各式各样的表达式（定积分，级数），但没有一个能使他满意， 他用这些表达式之一，算出了一个有七位有效数字的和（1.644934），但这仅是一个近 似值，而欧拉的目的是求出准确值。最后他发现了它，是类比方法帮助他得到了精彩的 结果。
§1 归纳推理
2．因果关系归纳法 因果规律的特点，在前后相继的一些现象中，通过某些现象的相关变化，归纳 出现象间的因果联系。这种方法叫做因果关系归纳法。大体可分为以下五类,五种 方法中，最基本的是求同法 与差异法，它们都是发现因果联系的方法。
(1)求同法 从不同场合中找出相同元素，即发现各种条件中只有一个因素是 普遍存在的，那么A就是a的原因。 场合 各种条件 被研究对象 Ⅰ A，B，C a Ⅱ A，D，E a Ⅲ A，F，G a ∴ A是a的原因
数学思维概述
二、数学思维的特征 1．数学思维的概括性 2．数学思维的间接性
3．数学思维的问题性
4．数学思维的复合性
数学思维概述
三、数学思维的品质 数学思维品质主要包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、独创性和批判性 五个方面。数学思维的五种品质相互联系，互为制约。 1．数学思维的深刻性 数学思维的深刻性指思维活动的抽象程度和逻辑 水平，反映思维活动的广度和深度。 2．数学思维的敏捷性 思维的敏捷性指思维活动的速度。它反映了智力的敏 锐程度。主要表现为能缩短运算环节和推理过程，正确和迅速地得出结论。 3．数学思维的灵活性 思维的灵活性即思维活动的灵活程度，是指能够根据 客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程或方式，寻求新的思维角 度和方向。在数学学习中，思维的灵活性主要表现在思维的起点灵活，即能 根据题设和结论，灵活地确定解题方向，选择解题方法；过程灵活，即能从 分析到综合，从综合到分析，并将有关知识迁移到当前的问题解决之中。
★根据思维的目的性分类，思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。
★按思维的智力品质分类，思维可分为再现性思维和创造性思维。 ★按思维的形式不同分类，思维可分为辐合思维和发散思维。
数学思维概述
2.认识过程，是 对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映。数学思维既有一般思维的共性， 又具有自身的特性。
数学思维概述
4．数学思维的独创性 思维的独创性指独立思考创造出有一定价值和
新颖成果的智力品质，是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。 在数学学习中，思维的独创性表现为善于独立地思考和分析问题，寻 求多种途径解决问题，或者能从旧问题引申出一些新问题。思维的独 创性较多地寓于发散思维和直觉思维之中。
归纳推理是通过各种手段(观察、实验、分析、比较等)对许多个别事 物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡 到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。 一、完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数 学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。 1．穷举归纳法 穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某 类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一 属性(作出特称判断)，从而得到这类事物都有这一属性的一般结论(全称判断) 的归纳推理。