泰勒公式及其应用臧树霞摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。

文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。

关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项Taylor’s Formula and its ApplicationZhang shu-xiaAbstract：Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathematics for discussion on several applications. Article in addition to the common Taylor formula for approximate calculation, limit, inequality, the determinant calculation, high derivatives at come point the only numerical, root the existence of proof, judging function outside the extremum, special, Taylor formula also for function convexity and application of inflexion point judge detail.Keyword:Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder一 引言1.1综述近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、近似计算、不等式证明等方面. 1.2研究现状关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.1.3研究意义泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.1.4本论文所作的工作泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.1.5研究目标探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.1.6本论文解决的关键问题了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.1.7本论文的研究方法将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限等的解题应用上，得出最佳的解题方法.二 泰勒公式2.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.2.3泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展开 （1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+.（2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）. 常见函数的展开式：.)!1(!!2112+++++++=n xn xx n e n x x x e σ352+12+2sin = + ...+ (1)+ ()3!5!(2+1)!n nn x x x x x o x n - .)()!2()1(!6!4!21cos 22642n nn x o n x x x x x +-++-+-= . )()1(32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-+++-=+- . 2(1)(1)12m m m x x x-+=+m +!…+nx n n m m m !)1()1(+--()n+o x . 21=1+ + + ... + +()1n n x x x o x x. 2.4泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值.带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据.定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x T x f -+=，即))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200"00'0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+=证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim0=-x Q x R nn x x由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n ，并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立.定理2：若函数)(x f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ζ，使得)1()()!1()()(!)()(!2)())(()()()1(0)1(00)(200"00'0++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ζ 证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G所以要证明的（1）式即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ 所以定理2成立.三 泰勒公式的实际应用3.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.例1 求2240cos limx x x e x -→-.分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==-.例2 求极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用洛必达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=34333()()6126o o x x x x x ++=+3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+.带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.3.2利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x x n ≈+ + + + ,其误差是余项()n R x .例1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001.解： 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）.令2.0=x ,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可. 因此.0001.0R 1823.000006.000040.000267.002.02.02.15<=+-+-≈其误差Ln当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例2 计算lg11的值,准确到5-10. 解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为 23ln(1)23x x x x +=-++ (1)n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-，要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+⇒ 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139.3.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例 在[a,b]上f(x)>0，且()0nx f<，试证明2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-. 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0nx f<可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x - （1）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x -（2） )()2()()1(p x x q -⨯+-⨯ 得))(())(())((p q x f p x q f x q p f -<-+-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()qp x dx dx <(q-p)∫ƒ 即()()()()2q p f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得()()()b c ba a c x dx x dx x dx ∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +- ()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-.3.4在行列式计算方面的应用若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 求n 阶行列式D=xz z z y x z zyy x zy y y x （1）解： 记()n f x D =,按泰勒公式在z 处展开：'''()2()()()()()()()()1!2!!n n n n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-++-, （2）易知100000000()0k k z y y z y y z yy D z z y z yy z y -阶---==--- （3）由（3）得, 1()(),1,2,,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有''''1122111()(),()(1)(),,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=于是)(x f n 在z x 处的各阶导数为''21()()|()()n n n x z n f z f z nf z nz z y -=-===-,'''''31()()|()(1)()n n n x z n f z f z nf z n n z z y -=-===--,… … … …111()|(1)2()(1)2n n n n x z f z f n n f z n n z --===-=-()()(1)2n n f z n n =-把以上各导数代入（2）式中,有12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()()(1)!!n n n n n nn n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.++-+--若z y =,有1()()[(1)]n n f x x y x n y -=-+-,若z y ≠,有()()()n nn z x y y x z f x z y---=-.3.5证明根的唯一存在性例 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明： 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调减少,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有-∞=∞→)(lim x f x ,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.6 判断函数的极值例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值. (ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明： 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.由于0)(0'=x f ,因此200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.7泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理 1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上具有一阶和二阶导数.若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.证明： 设c d <为[,]a b 内任意两点，且[,]c d 足够小.12x x <为[,]c d 中的任意两点，记012()/2x x x =+由定理条件的泰勒公式22000000()()()()()()()2!f x x x f x f x f x x x o x x ''-'=+-++-由此，2012001002010()()()2()()()()()()2!f x f x f x f x f x x x f x x x x x ''''+=+-+-+- 2220102020()()()()2!f x o x x x x o x x ''+-+-+- 因为余项为2()n x x -的高阶无穷小，12[,]x x 又为足够小，所以泰勒公式22000()()()2!f x x x o x x ''-+-的符号与0()f x ''相同.又因012()/2x x x =+，所以 010020()()()()0f x x x f x x x ''-+-=，可得：2222201200101020()()()2()()()()()02!x x f x f x f x f x x x o x x o x x -''+-=-++-+->即120()()2()0f x f x f x +->，得012()[()()]/2f x f x f x <+.由12,x x 得任意性，可得()f x 在足够小的区间[,]c d 上是凹的.再由,c d 得任意性，可得()f x 在[,]a b 内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.定理2 若()f x 在某个0(,)U x δ内n 阶可导，且满足(1)000()()()0n f x f x f x -'''====，且0()0(2)n f x n ≠>若（1）n 为奇数，则00(,())x f x 为拐点； （2）n 为偶数，则00(,())x f x 不是拐点. 证明：写出()f x ''在0x 处的泰勒公式))(()!2())(())(()(20200000---+--++-'''=''n n n x x o n x x x f x x x f x f因为(1)000()()()0n f x f x f x -'''====则22000()()()/(2)!(())n n n f x f x x x n o x x --''=--+-，同样余项是20()n x x --的高阶无穷小.所以()f x ''的符号在0x 的δ心领域内与200()()/(2)!n n f x x x n ---相同.当n 为奇数时，显然在0x 的两边，200()()/(2)!n n f x x x n ---符号相异，即()f x ''的符号相异，所以00(,())x f x 为拐点.当n 为偶数时，则()f x ''的符号相同，所以00(,())x f x 不是拐点.例 ,4判断（0）是否是 x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.解： ()2sin ,x x x x ´-ƒ=e -e - (0)´ƒ0=()x x x ´´-ƒ=e -e -2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin ,x x x x ´´´-ƒ=e -e + (0)´´´ƒ=0(4)(),x x x -ƒ=e -e -2cosx (4)(0)ƒ=4≠0因为n =4， 所以,4（0）不是x x-ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高教出版社，2006.[2] 裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社,1993.[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版上册[M].高等教育出版社，2004.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社，2003.[5]朱永生, 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报, 2006(08):4-25.[6]王三宝.泰勒公式的应用例举[J].高等函授学报(自然科学版) , 2005(03)：3-19.[7]冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003(04):4-11.[8]严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26.。