因为
f ( x) = x x , x ∈ (0 , + ∞) ,
f ′( x) = x x (ln x + 1) , f ″( x) = x x [ (1 + ln x) 2 + 1 ] > 0 ,
x
故由定理知 , f ( x) 在 (0 , + ∞) 内为严格凸函数 ,根据 J ensen 不等式有
1 2
[
f
(
a)
+
f ( b) ]
>
f
(
a
+ 1
b)
,
a+b
即
aa + bb > 2
a+b
2
.
2
注 可类似推出利用凹函数证明不等式中构造辅助函数的方法.
参考文献
[ 1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2001 :148 - 151. [ 2 ] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2006 :277.
摘 要 对于 Weierst rass 聚点定理 ,部分教材通常多采用二分法加区间套定理进行证明. 也有教
材通过在有界数列中寻找一个单调子列来证明 Weierst rass 聚点定理 , 可惜证明过程存在问题. 通过对
证明过程中出现的问题进行分析 ,可得到基于单调有界定理的 Weierst rass 定理的证明.
对 Weier st rass 聚点定理的证明 ,数学分析教材基本上都采用二分法加区间套定理的方法[1] . 而文 [2 ] 对实数完备性定理的讨论采用的是另外一条途径 :
确界定理 ] 单调有界定理 ] Weierst rass 定理 ] Cauchy 收敛定理. 特别地 ,对于 Weierst rass 聚点定理的证明 ,该文献采取寻找单调有界子列的方法 , 从而自成体系. 只是定理的证明过程出现了一些问题. 下面我们就定理的证明进行详细的讨论. 首先看文献 [2 ] 对该定理的描述及证明.
(3) 若 N 为无限集 ,则根据 N 的定义 ,指标集 N 所对应的子列 { xnk | nk ∈ N } 是一个单调递 减数列.
综上所述 ,有界数列均存在单调子列 ,因而存在收敛子列. 证毕.
参考文献
[1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) [ M ] . 3 版. 北京 :高等教育出版社 ,2003 :167. [2 ] 王绵森 ,马知恩. 工科数学分析基础 (上册) [ M ] . 2 版. 北京 :高等教育出版社 ,2006.
(1) 若 N = ,则对任意 n ∈ N+ ,都有 xn < xn+i ( i = 1 , 2 , …) ,即 { xn} 是严格单调增的 ,在 这种情况下 , { x n} 是收敛的 ,所以任何子列都收敛.
(2) 若 N 为 N + 的有限子集 ,则存在 n1 ∈N+ ,使 n1 大于 N 中的所有数 ,因为在 n1 | N ,所以 根据 N 的定义 ,存在 n2 ∈ N+ , n2 > n1 ,使 x n2 > x n1 . 又 n2 | N , 同理存在 n3 ∈ N+ , n3 > n2 , 使 x n3 > x n2 . 如此继续下去 ,得到 n1 < n2 < n3 < …, 使得 x n1 < x n2 < x n3 < …, 故 { x nk } 是{ x n} 的 一个严格单调增的子列 ,所以是一个收敛子列.
(2) 若 N 为有限集 ,则 N 有界 ,即存在一个正整数 M ,使得对任意 n ∈ N , 恒有 n < M 成立. 考虑数列{ xn} 的子数列{ xM , x M+1 , xM+2 , …} ,则该子数列所对应的指标集 N = , 根据 (1) 的结 论 ,存在数列 { x M , x M+1 , x M+2 , …} 的一个单调递增子列{ x nk } .
Vol. 12 ,No . 5 Sep . , 2009
S TUD IES
IN
高等数学研究 COLL EGE MA
T H EMA
T ICS
43
关于 Weier st ra ss 定理的证明3
倪谷炎1 白敏茹2
(1 国防科学技术大学理学院 长沙 410073 ; 2 湖南大学数学与计量经济学院 长沙 410082)
Weierst rass 定理[2] 有界数列必有收敛子列. 证明[2 ] 设{ xn} 为一有界数列 ,必存在 a , b ∈R,使得任意 n ∈N+ ,都有 xn ∈[ a , b]. 根据单调 有界准则 ,为了证明定理的结论 ,只要在任何情况下都能在该数列中找到一个单调子列就行了. 设
N = { n ∈ N+ | x n ≥ x n+i , i = 1 , 2 , …} , 则 N Α N+ . 从逻辑上看 N , 有且仅有三种情况 : N = ; N 为有限集 ; N 为无限集.
关键词 数学分析 ; Weierst rass 定理 ;实数完备性理论.
中图分类号 ○172
实数完备性理论有 6 个等价定理. 数学分析教科书对它们的证明通常采用的顺序是[1] : 确界定理 ] 单调有界定理 ] 区间套定理 ] 聚点定理 ] 有限覆盖定理 ] Cauchy 收敛准则 ] 确界定理.
要证明数列{ xn} 存在一个单调子列{ xnk } 就行了. 假设指标集 N = { n ∈ Z+ | x n ≥ x n+i , i = 1 , 2 , …} ,
则 N Α Z+ . 从逻辑上看 , N 有且仅有三种情况 : N = ; N 为有限集 ; N 为无限集. (1) 若 N = ,则对任意 n ∈ Z+ ,都存在 i ∈ Z+ ,使得 x n < x n+i . 现取 n1 = 1 ,即 x n1 = x1 ,
(上接第 28 页)

证明 引入辅助函数 f ( x)
= ln
x
+
1 x
,证法同例 4 ,略.
如果欲证的不等式中各因式均为 x x 形式 ,可构造辅助函数为 : f ( x) = x x .
a+b
例 6 设 a > 0 , b > 0 ,且 a ≠b ,证明 aa + bb > 2
a+b
2
.
2
证明 引入辅助函数
综上所述 ,无论在哪种情况下 ,{ xn} 都存在着收敛子列 ,定理得证. 证毕. 但是 ,证明中的 (1) 不成立. 根据指标集 N 的定义 ,应该得出的结论是 : 对于任意正整数 n | N ,则一定存在某些 i ∈N+ ,使得 xn < xn+i ,而不是对所有的正整数 i ,都
3 收稿日期 :2008 - 01 - 01. 修改日期 :2008 - 06 - 01.
44
高等数学研究 2009 年 9 月
有 x n < x n+i .
因此当 N = 时 ,并不能得出{ xn} 是单调增的 ,而是可以得到一个单调增的子列. 因此 ,证明
中的 (1) 不成立. 下面是我们给出的正确证明. Weierst rass 定理的证明 设{ xn} 为一有界数列 , 根据单调有界准则 , 为证明定理的结论 , 只
则存在 i1 ∈ Z+ 使得 x n1 < x n1 +i1 , 令 n2 = n1 + i1 , 则 n1 < n2 且 x n1 < x n2 . 类似地 , 存在正整数 n3 , 使得 n2 < n3 且 x n2 < x n3 . 依次得到正整数 n4 , n5 , …,满足 n3 < n4 < n5 < …,使得 x n3 < x n4 < x n5 < …,于是得到数列{ x n} 的一个单调递增子列{ x nk } .
(3) 若 N 为 N + 的无限子集 ,设无限子集中的元素按严格单调增的顺序排列为 n1 < n2 < … < nk < nk+1 < …根据 N 的定义 ,则有 x n1 ≥ x n2 ≥ … ≥ x nk ≥ x nk+1 ≥ …即 { x nk } 是{ x n} 的一个单 调递减子列 ,因而也是一个收敛子列.