2
21m1 A1 ( 22 m2
2
) A2 + + 2 n mn An
k21 A1 (k22 m2 2 ) A2 k2 n An F2
2
kn1 A1 kn 2 A2 (knn mn 2 ) An Fn
m2 2 惯性力 幅值 方程 1
21 I1 ( 22
n1 I1 n 2 I 2 + +( nn
1
mn 2
) I n np 0
矩阵形式：

设在稳态阶段各质量按干扰力频率 作同步简谐振动，即取特解的形式为 yi Ai sin t
(11m1
动位移 幅值 方程
1

) A1 12 m2 A2 + +1n mn An 2 1
1 p
2
2 p
0 0
(k11 m1 ) A1 k12 A2 k1n An F1
无阻尼
有阻尼
ky 0 my
运动方程
cy ky 0 my
y 2 y 0
y (t ) y0 cos t v0 sin t
2 y 0 ，其中阻尼比 y 2 y
y (t ) e t ( y0 cos d t v0 y0
k11 k22 k k k2 ) 11 22 12 0 m1 m2 m1m2
1,2
自振频率
11m1 22 m2
2 1 2 (11m1 22 m2 ) 2 4m1m2 (11 22 12 ) 2
2 [(
k k k k k2 1 k11 k22 ) ( 11 22 )2 4( 11 22 12 )] 2 m1 m2 m1 m2 m1m2
2
M 1 )I p 0
两个自由度体系的受迫振动
柔度法
刚度法（动力荷载作用在质量上）
m1 y111 m2 y212 y1 1 p sin t
运动 方程
m1 y1 k11 y1 k12 y2 Fp1 (t ) m2 y1 k21 y1 k22 y2 Fp 2 (t )
c 2m
方程通解
A sin(t )

sin d t )
e t A sin(d t )
2 A y0 (
振幅
v 2 A y0 ( 0 )2
v0 y0

d
)2
初始相位角
arctan
y0 v0
arctan
2
2 2 F m ( 2 2 ) 2 4 2 2 2 2 F A2 2 m ( 2 ) 2 4 2 2 2
A1
y (t ) A sin( t )
2 2 2 ) 4 2 2 2 arctan 2 1 2
m1 y1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m2 y2 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) 0
假设两质体的运动为同频率、同相位的简谐振动，则 m1 , m2 的动位移可表达为
y1 (t ) A1 sin(t ), y2 (t ) A2 sin(t )
运动 方程
m1 y1 k11 y1 k12 y2 k1n yn Fp1 (t )
m2 y1 k21 y1 k22 y2 k2 n yn Fp 2 (t ) 1 kn1 y1 kn 2 y2 knn yn Fpn (t ) mn y
FIi mi yi mi Ai 2 sin t I i sin t ，其中 I i mi Ai 2 为任一质体 mi 的惯性力幅值。
(11
1 ) I1 12 I 2 + +1n I n 1 p 0 m1 2 1 ) I 2 + + 2 n I n 2 p 0
Tips
说明： (1) 当动力荷载作用线与质体振动位移方向重合时各截面内力和结点位移成正比， 各截面各量的放大系数相同， 即各量 的动力系数均相同。 (2) 当动力荷载未沿质量运动自由度方向作用时，对于求质量的动位移来说，只需将原荷载 Fp (t ) 用沿自由度方向作用 于质量上的动力荷载
12 。求动内力时，可先 F (t ) 代替（其中 1 为质体运动自由度方向，2 为动力荷载作用方向） 11 p
1
0
21m1
频率方程 令
k11 2 m1 k12 0 k21 k22 2 m2
令 2 ，则频率方程化为
2
1
2
，则频率方程化为
2 (
2 2 (11m1 22 m2 ) (11 22 12 ) m1m2 0
解方程注意
若柔度系数数值复杂，解方程时可令
MEI m 2l 3 ， ， 若刚度系数数值复杂， 解方程时可令 ml 3 NEI
其中 N 为刚度系数分子的最大公约数。 第一主振型
其中 M 为柔度系数分母的最小公倍数。 第一主振型
1 11m1 (1) A21 12 1 11m1 ， A A21 A11 12 m2 12 m2 A11 （标准化）
max
计算质体的惯性力，然后用静力方法求解，其中惯性力幅值 FI
mA 2 。
多自由度体系的自由振动
柔度法 运动方程 关于质体运 动形式的假 定，即关于 特解形式的 假定
刚度法
y1 (t ) m1 y1 (t )11 m2 y2 (t )12 y2 (t ) m1 y1 (t ) 21 m2 y2 (t ) 22
cy ky my g 质量运动方程： my g 支承运动对于体系的动力作用相当于在质量上施加一动力荷载 my
建立运动方程时，应预判刚度系数或柔度系数的计算难易程度，对于单个质量的单自由度问题， 按照通常的计算方法计算即可；对于多质量的单自由度体系（通常含刚性段） ，可直接根据达朗贝 尔原理，建立动平衡方程（通常为对某结点的力矩平衡方程）或相应的虚功方程。
结构动力学小结
基本概念、基本原理 1.惯性力 （惯性力偶） ： 是假想地作用在物体上的力 （偶） 。 它的大小等于物体的质量 （转动惯量） 与加速度 （角加速度） 的乘积，方向与加速度（角加速度）方向相反。 2.质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的每个瞬时，作用于质点系上所有的主动力、约束反力与惯性力在形式上组成 平衡力系。 3.动力响应：动位移、动内力和结构振动的速度和加速等可统称为动力响应。 4.结构的动力特性：自振频率、振型和阻尼。 5.动力自由度：确定体系上质量位置所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度。 单自由度体系运动方程的建立 1. 动力荷载作用在质量上，且沿质量运动自由度方向时，运动方程如下：
Ky F p (t ) 矩阵形式： My
m1 y1 n1 m2 y2 n 2 mn yn nn yn np sin t
y p sin t 矩阵形式： My
特解 假定
Ky F p (t ) 矩阵形式： My
m1 y1 21 m2 y2 22 y2 2 p sin t
y p sin t 矩阵形式： My
特解 假定
设在稳态阶段各质量按干扰力频率 作同步简谐振动，即取特解的形式为 yi Ai sin t
Fp (t ) m
，其中
c 2m
y A sin t
y A1 sin t A2 cos t
A
特解
F 2 m( 2 ) ( Fp (t ) F sin t ) F y sin t m( 2 2 )
y (t ) F sin t m( 2 ) 1 F sin t yst sin t 2 2 m 1 2
多自由度体系的受迫振动
柔度法
刚度法（动力荷载作用在质量上）
m1 y111 m2 y212 mn yn1n y1 1 p sin t m1 y1 21 m2 y2 22 mn yn 2 n y2 2 p sin t
y0d ，其中 d 1 2 v0 y0
单自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动
无阻尼
有阻尼
ky Fp (t ) my
运动方程
cy ky Fp (t ) my
y 2 y
特解形式
Fp (t ) m
2 y y 2 y
1 2 (2) A22 2 m1 k11 ， A A22 A12 k12 A 12
(1)当结构和质量分布均匀对称时，体系的振型必定是对称或反对称的，其中较低频率下的振型对应体系 对称性 的应变能较小。 的利用 (2)当体系的振型为对称或反对称时，可以取半结构计算其相应的自振频率。
A

F m 2
1 (1
2
稳态响应 若 Fp (t ) Nql sin t ，则 A
Nql m( 2 2 )
若 m ml ，则 A
Nq m( 2 2 )
动力系数

1 1
2
2

(1
1
2 2 2 ) 4 2 2 2
支承动力 作用
无阻尼 刚度法 有阻尼 无阻尼 柔度法 有阻尼
ky Fp (t ) my cy ky Fp (t ) my