January 2019Vol.43 No.l2019年1月 第43卷第1期安徽大学学报(自然科学版)Journal of Anhui University (Natural Science Edition)doi ： 10.3969 j.issn. 1000-2162.2019.01.001非绝热和乐量子计算新进展薛正远，陈涛(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州510006)摘要：量子计算是基于量子力学规律调控量子信息单元进行计算的一种新型计算模型.众所周知.对噪声不 敏感的高保真度量子逻辑门是实现大规模量子计算的关键.儿何量子计算是利用几何相位来实现量子逻辑门 操作的量子计算策略.其特点是利用几何相位的整体性质避免某些局域噪声对量子操作的影响.从而实现高 保真度的量子逻辑门.因此.基于几何相位的量子操控是量子信息处理领域中非常重要的研究课题.该文以基 于非阿贝尔几何相位的和乐量子计算为例，介绍非绝热和乐量子计算方案的新进展.关键词:和乐量子计算；几何相位;超导线路中图分类号：O431 文献标志码：A 文章编号：1OOO-2162(2O19)O1-OOO1-15Recent progress on nonadiabatic holonomic quantum computationXUE Zhengyuan- CHEN Tao(School of Physics and Telecommunication Engineering. South China Normal University. Guangzhou 510006. China)Abstract : Quantum computation, processing quantum information based on the laws of quantum mechanics, is a new computation model. As it is well known, high-fidelity quantum gates, which are insensitive to noise, is the key to realizing large-scale quantum computation. Geometric quantum computation utilizes geometric phases, which are insensitive to certain local noises due to the global properties, and thus lead to high-fidelity quantum logic gate. Therefore* quantum manipulation based on geometric phases is an important research topic in quantum information processing. In this review, taking the holonomic quantum computation, based on non-Abelian geometric phases, as a typical example ・ we summarized the recent progress on its nonadiabatic implementation.Keywords : holonomic quantum computation ； geometric phases ； superconducting circuits量子计算是基于量子力学规律调控量子信息单元进行计算的一种新型计算模型•相对传统的经典 计算,量子计算能更有效解决一些经典计算机难以解决的问题1 .但它在理论和应用上均面临很大挑 战，尤其是量子信息处理过程•一方面，量子体系与环境间不可避免的相互作用导致量子系统的退相干, 使计算要求的量子系统相干性无法保持;另一方面.大规模量子计算的实现需要纠正量子程序执行过程 中产生的错误•因此.通用量子计算要求实现高保真度的完备量子门组合.子计算存在的问题，实现高保真度的量子操控，一系列基于阿贝尔⑵和非阿贝尔几收稿日期:2018-12-13基金项目:国家重点研发计划项目(2016YFA0301803);国家自然科学基金资助项目(11874156)作者简介：薛正远(1983-),男.安徽凤阳人.华南师范大学研究员.博士生导师.博士 .E-mail ： zyxue83@ .2安徽大学学报（自然科学版）第43卷何相位的量子计算方案*⑹相继被提出•由于几何相位具有仅依赖过程整体的性质，基于几何相位的量子操作就能天然避免一些局域噪声的影响•但是，早期的几何量子计算方案是基于绝热演化获得的几何相位来实现量子门的，为满足绝热条件，系统将长时间与环境相互作用,会带来较大的退相干，同时绝热操控的门速度也十分缓慢.为克服这一困难.研究人员提岀了基于阿贝尔“闵和非阿贝尔相位歸2啲非绝热几何量子计算，实现了快速的高保真度的量子门.这一方案在多种量子体系中得到了实验验证，如超导线路体系、NMR体系及金刚石电子自旋（金刚石色心）体系等酬呦.为突破当前几何量子计算物理实现中一些局限,在超导线路体系中实现非绝热和乐量子计算方案已成为研究热点•超导线路体系具有易集成、操作快等优点,是最有希望实现量子信息处理的体系之一,因此如何在这样一种简便体系中实现非绝热和乐量子计算成为关键.此外，超导线路体系易集成为二维晶格结构，具有支持大规模量子计算的优势，因而提供了一种实现非绝热和乐量子计算的有效途径.笔者简要综述非绝热和乐量子计算方案在理论和实验方面的新进展•论文内容安排如下:第1节介绍几何相位的一般构建方法.第2节详细介绍基于非阿贝尔相位下非绝热和乐量子计算方案的理论及其物理实现•第3节介绍可优化的非绝热和乐量子计算.第4节是全文的总结和该方向后续工作匚呵的展望.1几何相位的一般构建方法简要介绍从量子体系的含时哈密顿量H（r）岀发构建体系演化的几何相位.选取一组与H（t）同一维度的、满足薛定帶方程i丨0”,（C〉=H（t）|如（t）〉的正交基矢｛|如（门〉｝,计算可得I¢,”（门〉=U（t）I0”（0）〉，其中U（t）=Texp^—i J jff（r/）dz/J=Texp^—i j工|（0））＜（/）,…（0）=工于exp]—i：H（t'）dr']|0,”（O）〉〈°,”（O）|三丫丨0”（t）〉〈0”（0）|,（1）m0m其中：f为编时算符•为保证演化空间完成最终的循环路径，选择一组辅助基矢｛|5（刀〉｝，其中：I巧（刀〉=exp[—（r）]（?）满足边界条件I如（乙）〉=|（r）＞=|5（0）〉=|（0）＞.（2）需要注意的是，由于丨切（刀〉不满要足薛定谭方程，因此以上边界条件总是可以满足.丨0昭门〉由｛丨5（刀〉｝展开为如（f）〉=£c加（f）丨以（刀〉，（3）k其中：C kmJt'是一个含时的系数矩阵兀，且C km（0）=S km时刻，有U（）=|如（7"）〉〈如（0）I=c尿（）丨以（I"）〉〈。

刃（0）I=c km（厂）丨以（0）〉〈5（0）I, m k,m k,m因此，在满足循环演化条件的时刻,演化算符的矩阵元为（r）.下面分析此时系统哈密顿量的形式.对式（3）两边求导可得I0,”（r）〉=工（“”（r）|以（t）〉+c km（f）v k（z）＞）,k代入薛定帶方程后可得CbnCt）=—i工[H/&）—=一i》H费（t）c切（t）.k k可知，此时矩阵的第加列矢量由有效哈密顿量H*=H"~A lk（t）确定，其中H从（上）=〈以（匸）|HU）|以（t）〉=exp[i/\（t）—i几（¢）]〈⑷（t）H（t）|似（t）〉=iexp[i九（¢）一i几（/）]〈仞（t）|0&（t）〉,Ai k（t）=i（viCt）|K）〉=iexp[i九GO]〈仞（f）|号｛exp[—i几（切|快（t）〉｝=第1期 薛正远，等:非绝热和乐量子计算新进展 38ikfk (t )+iexp ［i//(O — <^/(O | 如(t)〉・通过计算可得H 劭=—8ikf k (^) 9 (4)c 尿(f) =5加 C wz(t ), 5“(刀=exp(i 几(t)). (5)因此，演化算符最终的形式为U (T )=2>””(r) | 以(0)〉仆”(0) |=2>以"| 以(0)〉〈》”(0) | =k,m k,m2>皿 I 切(0)〉〈””(0) 1=工 e" | 為(0)〉〈仏(0) | , (6)m m其中：/m (r)为演化过程产生的总相位•在以｛丨0”(门〉｝为演化态的几何量子计算中，为使得到的相 位为纯几何相位，要求〈如(t) | 0&(t)〉= — i 〈仞(t) | H(t) | 保(t)〉=0 (7)任意时刻均成立.此条件的物理含义是所有演化态在演化过程中不发生相互跃迁，即满足平行输运条 件.值得注意的是，在绝热过程中,此条件要求哈密顿量随时间变化必须非常缓慢囚.最终目的是得到对 角化的有效哈密顿，且使f m (r)是纯几何相位.综上所述，构建｛丨/,”&)〉｝为演化态的非绝热几何相位量子门，需满足式(2),(7),它们分别对应 循环演化条件和平行输运条件•当然，也可选择｛"”&)〉｝作为演化态构造几何相位口°〕，通过选择 ｛| 的形式，可放松条件(7)的约束，使哈密顿量具有更大的灵活性.2非绝热和乐量子计算方案2.1非绝热和乐量子门在最近的非绝热演化方案［如中，式(7)的平行输运条件是可以通过对系统哈密顿量的结构和参数 的限制来达到的.具体来说，考虑一个3能级体系，如图1(a)所示,体系的3个裸态能级分别为|0〉，| 1> 和丨e 〉，它们的能量分别为切。

,®和w f , | 0>和丨1>可分别通过频率为必，“的激光激发使其激发跃 迁至丨e 〉.此情况下，这3个能级形成一个A 型3能级结构.在相互作用绘景中，忽略高频震荡项，体系 和激光相互作用的哈密顿量可表示为H(Q=4o | 0X0 | + Z\! | 1X1 | + fi(0(wo I e 〉〈0 | + wi | e 〉〈l |+H.c.),其中：△* =2^k —w ek ,w ek =w e —w k 4=1,2),去的大小随以的变化而变化；3o 和an 为激光参数，描 述丨0〉一 |e 〉和丨1〉~ |e 〉跃迁的相对强度和相位，且Iwi |2=1.哈密顿量的打开和关闭可通 过实数耦合强度的调整实现.|0> |1> \b> \d>图1文献［16］中用于实现非绝热和乐单比特量子门的能级图若采用=0的双光子共振过程,则哈密顿量可简化为I e 〉〈0 +wi | e 〉〈l |+H.c.)=Q(r) e)<b |+H.c.. (8)这种情形下，哈密顿量H ⑴(t)的演化实际上是亮态丨6〉=®： I 0〉+ w r | 1>与激发态丨e>间频率为=/靳丨+ 如/的Rabi 震荡，其等效能级如图1(b)所示.哈密顿量H ⑴(t )将存在一个本征 能量为零的暗态丨d 〉=—3\ \ 0〉+靳丨1〉，其动力学演化可从以上计算空间中解耦出来,也就是此态不4安徽大学学报(自然科学版)第43卷可知,演化过程能始终满足平行输运条件<6(?)I d(C 〉=O,因此整个演化路径的相位是纯几何的.注 意，此条件成立的前提是式(8)限定的两束耦合脉冲的波形是同步的.也就是说，当wo =sin(0/2)e^和会与激发态丨间.由e 〉发生跃迁._z(r) =「Q"') At' =7.时，体系完成一个周期循环演化回到计算基失空J 0(1 力(才)〉=| 〃〉，(9)\ 6(f)〉=cosjr(f ) )〉一 isinzd) | e)on = —cos(0/2)时，若要求两束耦合脉冲波形同步，必须6=0.因此，此方案的几何相位构建受限于哈 密顿量的结构及其参数•此局限性也是后续需要改进之处.满足以上条件后，演化算符在基矢｛丨e 〉，| 6〉，| d 〉｝下可写为-10 0'UM = 0-10,0 0 1.易知,演化态丨b>获得了一个兀的几何相位.演化算符在计算基矢｛| 0>, | 1>, | e 〉｝下可表示为U(r) =eT " <!)d, = I — iHsin(z (r )) — H ' [I 一 cos (j ? (r))]=cosd sin6eT'r 0'1 — 2H2 = sin0e 片 一 cos0 0 .0 01(10)将U&)截取至计算子空间｛| 0>, | 1>｝,可得和乐单比特门U ⑴(C ”)=cosd sin^e*sinOeF '="• <r ,一 cosd ,(11)其中：n =(sin0cos° ,sin0sin 卩，cos0)为3维实空间中的一个单位矢量，<r =(几,a y )为作用在丨0〉 和丨1〉上的泡利算符•连续进行两个不同路径的周期演化，不同演化路径对应的单位矢量分别为n 和 "Z.则式(11)可进一步表达为U ⑴(C)=U ⑴(C,”)U ⑴(C ”)=n •〃一 ie • (n X zn ) , (12)其为一个SU(2)变换.通过选择合适的单位矢量"和"一所有的单比特门均可通过这种非绝热的几何 方法得到.从上可知,要通过两个循环才能得到一个任意的和乐单比特量子门，这是此方案的另一局限 性所在.要实现通用的量子计算，除了单比特门，还需要非平庸的两比特门•接下来，说明如何得到非绝热的 两比特和乐量子门.考虑一个有一系列束缚的离子体系，其中每个离子均有一个如上文所述的A 型3能级结构.当对其 中的一对离子分别施加频率为士5 土d)和±5干d)的激光激发时，丨0〉—| e 〉和门〉e 〉的跃迁就 在两个离子间同时进行.非对角的激发态丨e0>, | 0e>, | el 〉，| le 〉可通过两束激光的Rabi 频率 Ir2ol 和|远远小于v 来进行有效的抑制.两个离子在Lamb-Dicke 近似下的有效哈密顿量为H ⑵[ So (力 I (x) ff 0 (^>) — | Qi (t) 2<7i (—卩)(x) (—甲)],其中：少为 Lamb-Dicke 参数，且犷《1; <7。