ψ 叫做态矢量，它可以用n维复矢量空间的列矢量表示:
a1 a ψ = 2 M an
a1 , a2 ,K, an
为坐标矢量r,时间t 和自旋S的函数
(1.1-3)
利用Dirac符号，两个量子态 ψ 和 ϕ 的叠加态可以表示为：
c1 ψ + c2 ϕ
右矢量的复共轭矢量叫做左矢量，n维左矢量可以表示为：
n个量子比特的状态：
(1.1-26)
ψ =ψ
1
ψ 2Lψ
n
= 1, 2,L , n
(1.1-27)
利用量子的某一状态表示信息时，我们就说信息量子化了 利用量子的某一状态表示信息时， 并称为量子信息
由于信息载体（量子）的微观特性，量子信息就变的多姿多彩。 这些微观特性主要表现在： ① 量子态相干性：微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不 量子态相干性： 可思议特性的重要物理基础； 量子态纠缠性： ② 量子态纠缠性：N(大于1)个量子在特定的(温度、磁场)环境下可以处于 较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统 的状态； ③ 量子态叠加性 量子态叠加性：量子状态可以叠加，因此量子信息也是可以叠加的，所 以可以同时输入和操作N个量子比特的叠加态； ④ 量子不可克隆定律：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精 量子不可克隆定律： 确的复制，量子不可克隆定律和测不准原理构成量子密码术的物理通信的有效程度和可靠程度的标准是什么？ 衡量通信的有效程度和可靠程度的标准是什么？ 怎样判断通信方法的优和劣？ 怎样判断通信方法的优和劣？
信息的 定义与度量问题
1928年哈特来（R .V. L . Hartley）首先提出了“信息”这一概念。 1928年哈特来（ 年哈特来 Hartley）首先提出了“信息”这一概念。 1948年控制论创始人维纳（N . Wiener）指出“信息是信息，不是物质， 1948年控制论创始人维纳（ Wiener）指出“信息是信息，不是物质， 年控制论创始人维纳 也不是能量”。 也不是能量” 1948年香农（C . E . Shannon）对信息及其行为进行了定性和定量的描述。 1948年香农（ 年香农 Shannon）对信息及其行为进行了定性和定量的描述。
(1.1-16)
(1.1-17)
得到
a=b
(1.1-18)
再利用式（1.1-15）得到 a = b =
1 ，因此最后得到 s x的自旋向上的本征态： 2
↑x =
1 ( ↑z + ↓z ) 2
(1.1-19)
对于 ↓ x ，利用
σ x ↓x = − ↓x
0 1 a′ b′ a′ = = − 1 0 b′ a′ b′
用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。量 子力学理论描述量子信息演绎的行为。薛定谔方程制约着量子 子力学理论描述量子信息演绎的行为。 态信息的每一步演变， 态信息的每一步演变，线性代数的幺正变换约束着可逆的量子 态信息计算；量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集 态信息计算； 合状态的变化（微观客体的关联具有非局域的性质， 合状态的变化（微观客体的关联具有非局域的性质，且可以延 伸到很远的距离），结果信息的获取便是在得到输出态之后， 伸到很远的距离），结果信息的获取便是在得到输出态之后， ），结果信息的获取便是在得到输出态之后 量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。 量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。
四、线性代数中的量子符号及其运算的简介
量子力学理论是线性的。我们已知在量子力学态矢空间中使用标准符 号 ψ 描述向量，且用 0 表示该向量空间的零向量，因此对于任意 的 v ，下列等式成立：
v +0 = v
(1.1-28)
一个向量空间的生成集合是一个向量集合 { v1 ,L, vn }，该向量空间 中的任意向量 v 都能够写成这个生成集合的线性组合 v = ∑ ai vi 。
i
(1.1-8)
其中，基矢 i 满足正交、归一条件
i j = δij
各种可观测量叫做作用于波函数上的算符。 任何一个物理量算符A的期待值或平均值为：
(1.1-9)
A ≡ ψ A ψ = ∫ψ * ( r , t )Aψ ( r , t ) dr
物理量A的测量值必须为实数 物理量 的测量值必须为实数
(1.1-10)
↑x = a ↑z + b ↓z
a = b
(1.1-14)
由 ↑ x 的归一化条件可得
↑x ↑x = a + b = 1
2 2
(1.1-15)
由 Pauli 矩阵 σ x 的本征值方程
σ x ↑x = ↑x
即
0 1 a b a = = 1 0 b a b
1 0 = 0
0 1 = 1
(1.1-25)
的状态上， 一个量子比特能够处于既不是 0 又不是 1 的状态上，而是处于 0 和 1 的一个线性组合的所谓中间状态之上， 的叠加态上。 的一个线性组合的所谓中间状态之上，即处于 0 和 1 的叠加态上。
ψ = a 0 +b 1
(1.1-20)
或者
(1.1-21)
得到
a′ = −b′
↓x = 1 ( ↑z − ↓z ) 2
(1.1-22)
从而有
(1.1-23)
由式(1.1-19)和式(1.1-23)很容易验证两个本征矢的正交性
↑x ↓x = 0
(1.1-24)
作业： 的本征态。 作业：试用自旋算符 S 2 ，sz 的本征态 ↑ 和 ↓ 表示 s y 的本征态。
(1.1-4)
ψ =(ψ
波函数满足归一化条件：
) = ( a , a ,K, a )
† * 1 * 2 * n
(1.1-5)
ψ ψ =1
n维矢量空间中单位矩阵可以用任意的、构成完备系的基矢
(1.1-6)
i
表示： (1.1-7)
I =∑ i i
i
从而，态矢量 ψ 可以表示成基矢 i 的线性组合
ψ =∑ i iψ
香农给出了两个著名的基本定理： 香农给出了两个著名的基本定理： （1）信源编码定理也称无噪编码定理或香农第一编码定理，定量的 信源编码定理也称无噪编码定理或香农第一编码定理， 给出了用于存储从信源发出信息所需要的物理资源； 给出了用于存储从信源发出信息所需要的物理资源； （2）信道编码定理也称含噪编码定理或香农第二编码定理，定量的 信道编码定理也称含噪编码定理或香农第二编码定理， 给出了有噪声的信道能可靠传输信息的量。 给出了有噪声的信道能可靠传输信息的量。
0 −i σy = i 0
σz = 0 −1
1
0
(1.1-13)
【例 1.1-1】试用自旋算符 S 2 ，sz 的本征态 ↑ 和 ↓ 表示 sx 的本征态。 例
1 1 1 s 解 设 s x 的本征值为 和 − 的本征态分别记作 ↑ x 和 ↓ x ， z 的本征值为 2 2 2 1 和 − 的本征态分别记作 ↑ z 和 ↓ z 。将 ↑ x 用 s z 的本征态 ↑ z 和 ↓ z 展开，则 2
3. 自旋1/2体系的量子态 自旋1/2 1/2体系的量子态
1 自旋 的粒子在z轴方向的投影只有自旋向上和向下两种可能，因此可自 2 1 旋 的粒子的状态可用二分量矢量来表示。朝z轴正向的自旋（自旋向上） 2
态 和朝z轴负向的自旋（自旋向下）态 ↑ 可用列矢量表示: ↓
1 ↑ = 0
张量乘积是线性代数的基本运算
a1b1 M a1 b1 a1bn a2 ⊗ b2 = a2b1 M M M am bn a2bn M a b m n
二、 量子信息
利用微观粒子状态表示的信息称为量子信息
量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。 微观粒子系统举例： 微观粒子系统举例： ◆光子具有两个不同的线偏振态或 椭 圆偏振态； ◆恒定磁场中原子核的自旋； ◆具有二能级的原子、分子或离子； ◆围绕单一原子自旋的电子的两个状 态（如图1.1-1）等。
量 子 计 算 量 子 算 法
第一章 量子信息与量子计算的基本概念
§ 1.1 量子信息 § 1.2 经典解读 § 1.3 量子逻辑门（量子逻辑电路）简介 量子逻辑门（量子逻辑电路） § 1.4 图灵机、经典计算机与量子计算机 图灵机、 § 1.5 有关量子信息编码的基本概念
§ 1.1 量子信息
一、 量子力学基础
相对于20世纪末期新生的现代量子信息理论， 相对于20世纪末期新生的现代量子信息理论，我们称 世纪末期新生的现代量子信息理论 香农理论为经典理论
量子信息学 ——
一门新兴的、 一门新兴的、以量子力学与经典信息学理论为主干的 交叉性学科。 交叉性学科。
信息学 量子 信息学 量子力学
量 子 通 信 量 子 隐 形 传 态 量 子 密 钥 分 发 量 子 计 算 机
描述微观粒子在三维空间运动的波函数ψ可以用坐标矢量 r = (x,y,z)和时 间t的复函数ψ（r,t）来表示。粒子的波函数也叫做几率幅，其模的平方 表示在时刻t粒子出现在位置r上的几率密度。
ψ (r , t ) = ψ * (r , t )ψ (r , t )
2
(1.1-2)
微观粒子的波函数也可用Dirac符号表示，即复矢量空间的右矢 ψ 也可用于 表示波函数。