2.6 (∑������ ������������|������������ > , |������ >) = (|������ >, ∑������ ������������|������������)∗ = ∑������ ������������∗ (|������ >, |������������ >)∗=∑������ ������������∗ (|������������ >, |������ >)∗
2.14
要证明
(aA)+ = ������∗������+
①
和
(������ + ������)+ = ������++������+ ②
证 2 设 C=A+B ,则 ������������������ = ������������������ + ������������������ ,
∴ ������������������+ = ������������������∗ = (������������������ + ������������������)∗
2.29 AA+=A+A=I , BB+=B+B=I 则 (A⨂B) (A⨂B) += (A⨂B) (A +⨂B +)=(AA +) ⨂(BB +)= I⨂I=I 同理 (A⨂B) +(A⨂B)=I 得证
2.30 A＝A+，B+＝B ,所以(A⨂B) +＝A +⨂B +＝A ⨂B
2.31 两个半正定算子张量积是半正定的
2.25 引证，当 A 是 Hermite 的，只要 A 的特征值大于等于 0，则 A 是半正定算子 设,|φi >是 A 的标准归一化的特征向量 则对任意的|v> 有 |v>=∑������ ������������|vi> ,则|v>+=∑������ ������������*<φi|* 则 A|v>=A ∑������ ������������|φi>=∑������ ������������ ������������|φi> , 所以<v|*A|v>=∑������ ������������ ������������∗������������<φi |*|φi> 而且有 CiCi*>=0 , <φi ||φi>=1 所以当������������>=0 有<v|A|v> >=0
0 0
0 0
10|
(3) X⨂I=|10
0 0
0 0
01|
0100
0010
2.28 性质：转置，复共轭，伴随算子，可逆性 (1)(A+B) ⨂C=A⨂C + B⨂C
(2) A⨂(B+C)=A⨂B + A⨂C (3)A⨂(kB)= (kA)⨂B (4)Im⨂In=Imn (5)(AB) ⨂ (CD)=(A⨂C)(B⨂D) (6) (A⨂B)⨂C=A⨂(B⨂C) (7)若 AB 可逆，则(A⨂B)-1=A-1⨂B-1 (8)Am 阶，Bn 阶，|A⨂B|=|A|m|B|n (9)转置，(A⨂B)T=AT⨂BT (10) 复共轭，(A⨂B)*=A*⨂B* (11) 伴随, (A⨂B)+=A+⨂B+
第二章答案 2.1
������1 [−11] + ������2 [12] + ������3 [21] = 0 可取������1 = 0, ������2 = 1, ������3 = −1, 线性相关
2.2
(1)A = [01 10]
(2)A = [−01 −01], [10],
[−01] 输入输出基
2.4∵ A|������������ >= ∑������ ������������������|������������ >= ������1������|������1 > +������2������|������2 > + ⋯ + ������n������|������������ > ∴ 当 i=j 时，即������������������=1，且 i≠j 时，������������������=0，有输入输出（？）去相同基 ∴ 对角线元素为 1，其他元素为 0，这种矩阵为单位阵
即������ = 0 或者������ = 1
2.24 证： A=b+iC 对于任意的 A，B、C 都是 Hermite 的
设 B=1/2(A++A) C=-i/2(A+-A) 则 A=b+iC ，B、C 都是 Hermite 的
<v|A|v>=<v|B|v>+i<v|C|v> >=0 而 BC 是 Hermite 的，所以<v|B|v>，<v|C|v>为实数 必有<v|C|v>=0，即 C=0，所以<v|A|v>=<v|B|v> 所以 A 是 Hermite 的
2.26 |φ>⨂2 =1/2(|00>+|01>+|10>+|11>) |φ>⨂3 =1/2√2(|000>+|001>+|010>+|011>+|100>+|101>+|110>+|111>) 矩阵略
2.27
0010
(1)X⨂Z=|01
0 0
0 0
−01|
0 −1 0 0
0010
0100
(2) X⨂I=|01
半正定矩阵的特征值大于等于 0，有 A=∑������ ������������|������ >< i|, ������������ ≥ 0, B=∑������ ������������|������ >< i|, ������������ ≥ 0 所以 A⨂B=∑������ ∑������ ������������������������|������ >< ������|⨂|������ >< ������| 因此 a ������������������ ≥ 0,且a ������������������是 A⨂B 的特征向量，因此 A⨂B 是半正定的
[������
1]
−
1 2
[−1������
]
[������
1], < φ| ∗= |φ >
|0><0|-|1><1|,
2.12
|λE-A|=[λ−−11
λ
0 −
1]=(λ
−
1)2=0
λ=1
当 λ=1 时，特征向量为[01]，而 A≠ |1 >< 1| ， 所以不能
2.13 (|������ >< ������|)+ =< ������|+|������ >+= |������ >< ������|
有 ������������������+ = ������������������∗ , ������������������+ = ������������������∗
∴ ������������������+ + ������������������+ = ������������������∗ + ������������������∗ = ������������������∗ = ������������������+ = (������������������ + ������������������)+
2.7 (|w>,|v>)=0 ， 正交 归一化形式|������>， |������>
√2 √2
2.8 数学归纳法
2.9 X=[01 10] = ∑������ < ������������ |������| > |������������ >< ������������| = [01] [1 0] + [10] [0 1] = |1 >< 0| + |0 >< 1| ∵ X|0 >= |1 > , X|1 >= |0 > ， ∴ 有������1 = |0 >, ������2 = |1 >, ������1 = |1 >, ������2 = |0 >
2.10 第 j 行第 k 列为 1，其他为 0
2.11
特征向量
x
1，-1
y
1，-1
z
1，-1
特征值（归一化）
√2 2
[11]
,
√2 2
[−−11]
1 √2
[1������ ]
,
1 √2
[−1������ ]
|0>，|1>
对角表示
1 2
[11]
[11]−Fra bibliotek1 2
[−11]
[1
−1]
1 2
[1������ ]
2.23
由定义 知ρ|v > = ������|������ > |������ > 为特征值������对应的特征向量 且头像应ρ 有ρ2 = ρ ， 即 ρ|v > = ������|������ >