6.1
当x=0时有(2|0><0|-I )|x>=|0> 当x>0时有(2|0><0|-I )|x>=-|x> 所以2|0><0|-I I 即为相移算子 6.2 |φ><φ|=1/N Σ
i =0
N−1Σ
j =0
N−1|i><j|,
所以有(2|φ><φ|-I )Σ
k =0N−1
a k
|k>=2/N Σi =0
N−1Σ
j =0
N−1|i><j|*Σk =0N−1
a k
|k>-Σk =0
N−1a k |k>
而|i>,|j>,|k>都经过标准归一化，所以当|j>=|k>时，有|j><k|=1，当|j>！=|k>
时，有|j><k|=0 所以上式可化简为2/N Σk =0
N−1Σ
k =0
N−1a k |k>-Σ
k =0
N−1a k |k>=Σ
k =0
N−1[-a k +<a>]|k>
其中<a>=Σ
k =0
N−1a k
N
6.3 (此处为验证Grover 迭代能写成以下矩阵形式)
|φ>=cos(θ/2)|α>+sin(θ/2)|β>写成向量形式为[cos(θ/2) sin(θ/2)]T
所以G|φ>= cos θ−sin θsin θ
cos θ
cos(θ/2)sin(θ/2) = cos(3θ/2)
sin(3θ/2)
=cos(3θ/2)|α>+sin(3θ/2)|β>
所以Grover 迭代能写成G=
cos θ
−sin θsin θ
cos θ
6.4 按照书上只有一解的过程，对于多解只能测量出所有解的和 6.5 6.6 (⊙为张量积符号 X 为PauliX 门, Z 为PauliZ 门)
框中的门可以表示为
(X ⊙X)（I ⊙H ）（|0><0|⊙I+|1><1|⊙X ）(I ⊙H)(X ⊙X)
=X|0><0|X ⊙XHHX+X|1><1|X ⊙XHXHX(HXH=Z)
=|1><1|⊙I +|0><0|⊙(-Z)
=(I -|0><0|)⊙I +|0><0|⊙(I-2|0><0|)
=I-|0><0|⊙I+|0><0|⊙I-2|0><0|⊙|0><0| =-(2|00><00|-I)
6.7
(Z为PauliZ门)
验证图6.4
exp(-i|x><x|△t)
=exp(-i△t/2*(I+Z))
=exp(-i△t/2*I)exp(-i△t/2*Z)
令c=cos(△t/2),s=sin(△t/2)
=(c-is)(c-isZ)
=(c-is)c−is0 0c+is
令C=cos(△t),S=sin(△t)
=C−iS0 01
=exp⁡(−i△t)0
01
=exp⁡(−i△t)10
0exp⁡(i△t)
验证图6.5照用上面方法，好像有问题
6.8
精度达O（△t r),则总误差为O（△t r N)则要有△t=Θ（N−1/(2r−2))
总共调用步数为
O（N 1
/N−1)=O（N
1+1
2（r−1))=O（N
r
2（r−1))
6.9
a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
a×a =(a2*b3-a3*b2)x+(a3*b1-a1*b3)y+(a1*b2-a2*b1)z
U(△t) =exp(-i|φ><φ|△t)exp(-i|x><x|△t)
=exp(-i(I+φ˙σ)△t/2)exp(-i(I+z˙σ)△t/2) (φ=(2αβ,0,(α2
−β2)) )
=exp(−iI△t/2)2exp(-iφ˙σ△t/2)exp(-i z˙σ△t/2)
令c=cos(△t/2),s=sin(△t/2) ,且有α2
+β2=1
=c−is2c−isα2−β2−2isαβ
−2isαβc+isα2−β2
c−is0
0c+is
=c−is2c−is(c−isα2−β2)−2(c+is)isαβ−2c−is isαβ(c+is)(c+isα2−β2)
=c−is2c2−s2α2−β2−2iscα2−2(c+is)isαβ−2c−is isαβc2−s2α2−β2+2iscα2
等式右边展开有
=（c2−s2α2
−β2)I-2is
cαβ
−sαβ
cα2
σ
=
c2−s2α2−β20
0c2−s2α2−β2-2is
cα2(c+is)αβc−isαβ−cα2
=c2−s2α2−β2−2iscα2−2(c+is)isαβ−2c−is isαβc2−s2α2−β2+2iscα2
除去全局相位，有6.25式成立
6.10
U(△t)的作用是r旋转|φ><φ|，每次转过的角度是θ，可以通过选取适当的△t，可以使得正好旋转O（N)整数次，有O（N)∗θ=|φ><φ|，所以最终状态恰好是|x>,成功概率是1
6.11
(本题只是一个猜测，并未验证)
H=Σ
i =0
M−1|x i ><x i |+|φ><φ|
6.12 6.13
6.14 6.15 (φ+
表示φ的共轭转置) Σx =0N−1
φ−x 2=Σx =0
N−1
φ−x +
(φ−x) =Σ
x =0
N−1
φ+
φ-φ+
x-x +φ+x +
x
=N(1+1)-Σ
x =0
N−1(φ+
x+x +φ) ≥2N-2 Σx =0
N−1<φ φ><x x >
=2N-2 N
6.16
6.17
6.18
6.19
∨
P(X)=x0∧x1∧x2……∧x N−1=x0∨x1∨x2……∨x N−1 6.20
参考6.19的表示方法。