探索勾股定理
（课程标准北师大版八年级上册数学实验教材第一章第1节）
复习提问
1、三角形的内角满足怎样的关系？
特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？
2、三角形的边满足怎样的关系？
特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？
（一）创设情景 引入新课
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高 水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运 会”，这就是本届大会会徽的图案
提问： 你能发现各图中三个正方形的面积之间有何
关系吗？
活动一： （1）观察图1
C A
正方形A中含有9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
123
你是怎样得到C的面积 的？与同伴交流交流。
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c 来表示图中正方形的面积吗？
C A
B
C A
B
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系 吗？
结论3 如果直角三角形两直角边长分 别为a、b，斜边长为 c ，那么
B
系吗？
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方
形面积之和等于斜边上的正方形的面积
结论1 以等腰直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二：一般直角三角形也有这样的性质吗？
（1）观察右边 两幅图：
a c2 -b2 ,
b
c
b2 c2 a2; b c2 -a2
a
a2 b2 c2. c a2 b2
3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.
问题：这个结论正确吗？该如何证明？
（三）探索勾股定理的证明
拼一拼 你们能用这四个三角形纸片，围出一个大正方形吗?
c a
b
c a
b
c a
b
并请你表示出正方形的面积。
c a
b
b ac
a cb
bc a
ca b
图1
c
b b-a c
a c
c
图2
证法一：
b ac
a cb
bc a
ca b
S正
（a
b)2
4
1 2
ab
c2 ，
化简得： a2 b2 c2
证法二：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
我国古代两种证法：
1、公元3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》 作注时给出的“弦图”：
c ba
c
1
a
= (a2+2ab+b2) 2
b
B 又∵ S梯形ABCD=S AED+S EBC+S CED
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
2 2 22
比较上面二式得 c2=a2+b2
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代 学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较 长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
走进勾股世界
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边ห้องสมุดไป่ตู้为股，斜边称为弦，“勾股定理”因 此而得名（中国古代又叫商高定理） （在西方称为 毕达哥拉斯定理、百牛定理）中国发现勾股定理比毕 达哥拉斯定理早500多年
弦 勾
股
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
（2）（3）
C A
S正方形c
B C
图1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A
（2）在图2中，正方 形A，B，C中各含有 多少个小方格？它们 的面积各是多少？
B C
图1
A
（3）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
小明的妈妈买了一部29英寸（74 厘米）的电视机。小明量了电视机的 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
类比思考
1.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面 积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方（勾2+股2=弦2）。
表示为：Rt△ABC中，∵∠C=90°
∴ a2 b2 c2
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a2 b2 c2.
1.成立条件： 在直角三角形中；
2.公式变形: a2 c2 b2 ,
为什么这届数学大会要以这个图案作为会标？我们 研究直角三角形三边的关系该从哪儿研究？为什么？
（二）探索发现勾股定理 探究活动一：先研究等腰直角三角形（特殊情况）
(1)相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
C
A
B
（２）引导学生从面积的角度来观察图形：
C A
B
C A
B
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
？
右图
16
9
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
C A
B
C A
B
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
SA SB SC
其基本思路：利用不同的表达式来表示同一图形的面积， 这种证题的方法叫等积变换（面积法）
数学思想：数形结合
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出 的“青朱出入图” ：
青入
朱出
朱方 青入
朱入
青方 青出
青出
无字证明
美国第十二任总统伽菲尔德 的“总统”证法
D c
b Aa
1 C ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2