3.4专题 定积分与微积分基本定理
【一】基础知识
【1】定积分的定义
【2】定积分的几何意义
当()0f x ≥时，定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线,x a x
b ==和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
【3】定积分的基本性质
（1）
()()b b a a kf x dx k f x =⎰⎰ （2）
()()()()1212b b b
a a a f x f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰ （3）()()()
b
c b
a a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰
【4】微积分基本定理
如果函数()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰.
【二】例题分析
【模块1】利用微积分基本定理求定积分
【例1】计算下列定积分的值：
（1）3
2dx =⎰ .（2）46cos 2xdx ππ=⎰ .
【例2】计算定积分
()121sin x x dx -+=⎰ .
【例3】计算定积分
()11cos x e x dx -+=⎰ .
【例4】计算定积分
2211x x dx x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎰ .
【例5】
201x dx -=⎰ .
【例6】
3201x dx -=⎰ .
【例7】若函数()3sin ,112,12
x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则()21f x dx -=⎰ .
【模块2】利用定积分求平面图形的面积
【例1】由直线,,033x x y ππ=-
==与曲线cos y x =所围成的封闭图像的面积为 .
【例2】由直线,,022x x y ππ=-
==与曲线sin y x =所围成的封闭图像的面积为 .
【例3】由曲线23,y x y x ==所围成的封闭图形的面积为 .
【例4】有曲线2,23y x y x ==+所围成的封闭图形的面积为 .
【例5】定积分
0=⎰ .
【例6】求曲线5sin ,0,4y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
与x 轴所围成的图形的面积.。