4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态 此态对应的量子数将伴随终生 因此守 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) ( ) 量子体系的各守恒量并不 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 定都可 同时取确定值。 5 守恒量与定态 5. (1) 定态是体系的 定态是体系的一种特殊状态 种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 即能量本征态 而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
例题2 求 求一维谐振子在态 维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值
1 解： 一维谐振子的能量本征值为 En n ω 2
由位力定理知: 则 所以
T V
1 E n H T V n ω 2 1 1 T V n ω 2 2
对于像在引力、Coulomb力作用下粒子做有界运动（当然也 就包含了周期运动）的情形，我们就得到了 个很有兴趣的 就包含了周期运动）的情形，我们就得到了一个很有兴趣的 结论：势能平均的负值等于动能平均的两倍，即
位力定理与统计力学中的配分定理有着密切的联系，而 在天体物理中，它将星体的内部温度、质量以及半径联 系起来并用以讨论星体的稳定性。对于一些很不直观的 来并 稳 对 直 结果——例如星体由于辐射能量而收缩时，它的温度将升 高而不是下降——利用位力定理也可以非常容易的得到。 利用位力定理也可以非常容易的得到
又因为 [G, H]=0, 则
ˆ G ˆH ˆ E EG ˆ ˆG ˆ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。Why? 如果不简并，则GΨ=g Ψ ,即Ψ也是G的本征函数， 对应的本征值是g 。
不确定关系：若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能 同时为零，即A,B , 不能同时测定（特殊态例外), 或者说，它们不能 有共同本征态；
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值 简并 即对应某个能量本征值E只有一个本征态 只有 个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） 设哈密顿量为守恒量 则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) ( ) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （ （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 束缚态 态 并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是 也是一个能量本征态，对应的本征值也是 个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有
ˆ ψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是 的本征态 对应的本征值是F’
ψ 2ψ1 ψ1ψ 2
/ 2 1 / 1 2
两边同时积分得
ψ1 C ψ 2
上节课回顾：量子力学中的守恒量
A (t ) (t ), A (t ) A 0 d A 1 t A (t ) 0 [ A, H ] dt t i [ A, H ] 0 埃伦费斯特定理 结论： 若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
Hψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), ) Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ), ) ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若 不含时间 若[A, H]=0(即为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H p / 2m V ( r )
2
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 i r p [ r p , H ] [ r p, p ] [ r p,V ( r )] dt 2m p2 i r V m d 对定态有 r p0 dt
Note
ψ i Hψ t
1 1 A , HA ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
若力学量不显含时间，即 则 若
A 0 t
d 1 A (t ) [ A, H ] dt i [ A, H ] 0 d A (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψ k Ekψ k , Aψ k Akψ k
则
1 2 p r V m
2T r V
证明： [ r p,V ( r )] [ xp x ,V ( r )] [ yp y ,V ( r )] [ zp z ,V ( r )] V ( r ) V ( r ) V ( r ) x ( i ) y ( i ) z ( i ) x y z i r V ( r )
V V V n 1 x y z nc V ( x , y , z ) (cx ) (cy ) (cz ) 令c =1得 r V nV
2T r V nV
则由位力定理得 如谐振子 库仑势 δ势
1 V ( x ) mω 2 x 2 , n 2 V T 2 1 V ( r ) ~ , n 1, V 2T r 1 δ (力学量随时间的演化 4 1 1 守恒量 4.1.1
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2 量子力学中的守恒量 2. 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 §4 1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4 3 Schrödinger §4.3 S h ödi 图像与H i b 图像 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
这是否会影响位力定理得证明。 答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x, x y,z的n次齐次函数，即 次齐次函数 即
V (cx , cy , cz ) c V ( x , y , z )
n
证明
nV 2T
证明： V ( cx , cy , cz ) c nV ( x , y , z ) 两边对c求导数得
2 [ r p, p ]
2 2 [ xp x , p x ] [ yp y , p 2 ] [ zp , p y z z]
2ip 2ip 2ip
2 x 2 2 y
2 z
2ip
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
1 r p (r p p r ) 2
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψ k Ekψ k , Aψ k Akψ k
d 2 ak (t ) 0 ψ (t ) ak (t )ψ k , ak (t ) (ψ k ,ψ (t )) dt k
结论： 如果力学量A不含时间，若 结论 含时间 若[A, H]=0( ] 0(即为守恒量 为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
A (t ) ψ (t ), Aψ (t )
守恒的条件？
d A , A , A A (t ) , dt t t t A H , A , A , t t i
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F H]=0 [G H]=0 [F G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G] 则体系能级一般是简并的 证明： [F, [F H]=0,则F, F H有共同的本征函数Ψ
ˆ E , F ˆ F H
力矩反映了力的切向分量对物体运动的影响，而角动量反映了物 体在切向上的运动，这个直观的图像其结论就是角动量定理。 关于力的径向分量也有一个有趣的结果，这就是virial（位力）定 理，它涉及的是各种力学量的时间平均值之间的关系。
对于周期性的运动，如果我们使时间间隔恰巧等于运动的周期. 即便对于非周期性的运动 如果粒子的运动总是在空间中的一个 即便对于非周期性的运动，如果粒子的运动总是在空间中的 个 有限区域中进行的（有界运动）也就是说，粒子的坐标始终是有 限的数值,G必然有一个上限
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为 能 本 态 为P的本征态，即有确定的 本 态 有确 宇称。事实上，也确是如此，