| cn |2 n
（4）
L2
22 62
相应几率
1 5
4 5
Lz 相应几率 1
例 2：（《周》）3.6 设t=0 时，粒子的状态为 (x) = A [ sin2kx + (1/2)coskx ]
求粒子的平均动量和平均动能。
解：
(x)
A{(
1 2i
[eikx
eikx ])2
1 4
(eikx
eikx )}
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1
2 x2
i
i xi
同样，在任一态ψ(x)
中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上） 可写为：
要解决上述问题,我们 还得从讨论 本征函数 的另一重要性质入手。
1. 函数系 的完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
(x) cnn( x)
n
例如：动量本征函数
组成完备系
则称这组函数φn(x) 是完备的。
(r,t)
c(
p,
t
)
p(r )d
任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程
Fˆ
n
nn
但是, 还有 两个问题 没有搞清楚：
解得的本征值λn之一。
1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。
2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。
(1) 力学量算符本征函数组成完备系
cnn
*
cmm dx
cn * cm n*mdx
n
m
nm
cn * cm nm cn * cn | cn |2
nm
n
n
所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2 表示在x点找到粒子的几率密 度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那么同样，|cn|2 则表示 F 取 λn 的几率。
（2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值；
（4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。
解：
(1)
Lˆ2
Lˆ2
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,
j
)
1 3
1(1 1)2Y11
2 3
2(2 1)2Y21
22
1 3
Y11
2Y21
2020高中物理竞赛
量子力学 第四章
算符与力学量的关系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系 （2） 力学量的可能值和相应几率 （3） 力学量有确定值的条件
（二）力学量的平均值 （三）例题
（一）力学量的可能值
量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r)中测量
与波函数ψ(x) 按动量本征函数 展开式比较,二者完全相同
我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数；
c (p) 是动量空间的波函数；
则
{ cn } 则是 F 空间的波函数，
三者完全等价。
证明：当ψ(x)已归一时，c(p) 也是归一的， 同样 cn 也是归一的。
证：
1
( x) ( x)dx
推论：当体系处于ψ(x) 态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是ψ(x) 必须 是算符 F的一个本征态。
证： 1. 必要性。若F具有确定值λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。
“确定值”的意思就是 每次测量都为λ 。
且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm …
根据基本假定III，测量值必为本征值之一， 令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程
综上所述，量 子力学作如下 假定：
量子力学基本假定IV
任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备 系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值
λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式：
中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。
(x) cnn(x)
n
（3） 力学量有确定值的条件
根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的本征 值 λn n = 1,2,.. .之一,该本征值由本征方程确定：
而每一本征值λn各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。
Fˆn(x) nn(x) n 1,2,
由于φn(x)组成完备系，所以体系 任一状态ψ(x)可按其展开：
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
Y11 2Y21 * 22Y11 62 2Y21 d
1 5
22 Y11 2 242 Y21 2 d
1 [22 242 ] 26 2
5
5
方法 II
1 5
Y11
2Y21
利用
F
n
L2
1
2
22
2
2
62
26 2
5
5
5
2
c( p1 )
2
c( p2 ) c( p3 )
2 4
2
c(
p4
)
c(
p5
)
4
p1 0
p2 p3
2k 2k
p4
k
p5 k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2k
(2k)
k
( k)
2
4
4
4
4
0
（2）动能平均值
5
T
i 1
| c( pi ) |2
pi 2
2
1
2
2
2 0
2
2
F
| cn |2 n
此式等价于 以前的平均
n
值公式：
F *( x)Fˆ ( x)dx
这两种求平均
F *( x)Fˆ ( x)dx
n
cnn ( x) Fˆ
m
cmm ( x)dx
值的公式都要 求波函数是已 归一化的
如果波函数 未归一化
cn * cm n *(x)Fˆm(x)dx
Fˆn ( x) nn ( x)
n 1,2, , m,
相应几率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。
又根据基本假定 IV，φn(x) 组成完备系，
( x) cnn( x)
n
现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。
2.充分性。若ψ(x)是F的一个本征态，即 φm(x)，则 F 具有确定值。
ψ(x)=
根据基本假定IV，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。
所以
( x) cnn( x) m ( x)
n
因为
|
cn
|2
1 0
nm nm
测得λn 的几率是 |cn|2。
所以，测量 F 得λm 的几率为 1，因而有确定值。
展开系数 cn 与x无关。
( x) cnn( x)
n
为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分 讨论：
m ( x) ( x)dx m ( x) cnn( x)dx n cn m *( x)n( x)dx n cn mn cm n
即 cn n( x) ( x)dx
故 Ψ 不是 L2 的本征态。
(2)
Lˆ z
Lˆ z
1 3
Y11
(
,
j
)
2 3
Y21
(
,j
)
1
2
3 Y11 3 Y21
1 3 Y11
2 3 Y21
Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。
（3）求 L2 的平均值
方法 I
验证波函数是否 归一化：
F *( x)Fˆ ( x)dx
（ 已归一化）
2 (2k)2 4
2
2 (2k)2 4
2
2 (k)2 4
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k)2
5k 22
8
2 4
2
(
k)2
作业
周世勋《量子力学教程》 3.7、3.8
谢谢观看！
cn * cmm n * ( x)m ( x)dx
n
m
nm
cn*cmm nm
| cn |2 n
nm
n
| cn |2 n
则 F n
| cn |2
n
F *( x)Fˆ ( x)dx *( x) ( x)dx
例1：已知空间转子处于如下状态
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,j
)
试问： （1）Ψ是否是 L2 的本征态？
3
p
或 (r) c( p) p(r)d 3 p
2. 力学量算符的本征函数集合构成完备系