平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋ k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
(3) ACAB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
C B
(3) ACAB1 AD1 xAC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C(3) A C A1B A1D xA1C
(2) 2AD 1BD 1 AD 1AD 1BD 1 A1 D (B1 CB1 D ) AD1 D1C1 AC1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
1
( 4 ) AB
AD
CC 2
1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(ab)ka＋kb
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
B
b
b
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
(1 ) AB BC
D1
C1
( 2 ) AB AD AA 1
( 3 ) 1 ( AB 3
AD
AA 1 )
1
( 4 ) AB
AD
CC 2
1
解(1： )ABBC ＝AC ;
A1 G
D A
B1 M
C B
( 2 ) A A B A D 1 A A C 1 A C C 1 A C 1 C
x1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) A C A1B A1D xA1C
(3) ACA1BAD 1
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
D1
C1
2(AD AB A1A )
A1
B1
2AC1
x2.
D (1)原式 A B ＝ BM M G AG
B
M
(2)原式
G ＝ A BBM M G 1(A BA)C
2
C
＝ BM M G1(AB AC )
2
＝BMMGMB MG
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC D1
A1
(2) 2AD1 BD1 xAC1
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
C
a+ b
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
作业
空间四 AB边 中 CAD 形 ， Ba， B＝ C b， A D c， 试a,用 b,c来表 C， D A 示 ,C B.D
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB BC
( 2 ) AB AD AA 1
C
A B
D C
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
A B
D C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
A B
D C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (2)AEAA' xAByAD
B
D
C
A
B
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
Hale Waihona Puke (2) AG 1 ( AB AC ) 2
D
B
M
G C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。