极限及导数练习题及答案淮南联合大学基础部2008年10月第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出A×B解：如图所示A×B＝{| x?A,y?B }.2：证明：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。
即结论成立。
基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由所以命题成立得cxy?ay?ax?b即 x?ay?b，所以 x?f cy?a3：y?2?xy?y??解：4：用极限定义证明： lim2lg?0,x?0??1,x?0??n?1?1n??nn?1111?1|成立,只要n?取N＝[]，则当n>N时,就有证明：因为 ?? 有|nn??n?11n?1|?1|有定义变知lim?1成立n??nnn5：求下列数列的极限n12?22n2limnlimn??3n??n3nnnn2n2n解：? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故：limn ＝0n??3n??3x??33312?22n2n111?? 由于n3n36nn111112?22n21又因为：lim?,所以：limn??6n??nn3n3因为：所以：因为：1?n11?1?，并且lim?1,故由夹逼原理得n??nnn?16：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：习题1.23.求下列极限?limn??n?0??1?为无穷小量。
?n3.求下列函数的极限 x3?2x lim2; x??x?1 13x?1?lim解：?lim3?0 x??x?2xx3x2?x3?2x?lim2不存在。
x??x?1limtan5x; x?02x解：原式=limsin5x1? x?02xcos5x5sin5x1?lim??lim x?025xx?0cos5x5?limtanx?sinx x?0x1?1sinx解：原式=lim ?2x?0xxsinx11?cosx?lim?? x?0xcosxx2sinx11?cosx?lim?lim?lim x?0xx?0cosxx?0x2 x2sin2?1?1?lim2x?0xxsin21 ?lim?x?02x221?limtanx?0?x2;解：原式=limlimtanx?0x?0?x2?1?0?0 1limxx?0;1?2x?2解：原式=lim[)x?0]?e?2?x?4? lim??xx?1?2x?1；2x?11?解：原式=lim?1??x5??令t? x?1,则x??5t?1;x??时t??; ?5?10t?3?1?原式?lim?1??tt???1lim?1??t??t??e?10 limt10?1??lim?1?? tt??31?cosmx ; x?0x2sinmx2) mx22?limmx?02sin lim ; x??x?1解：?limx?1x?1?lim?limx??x3?2xx??x2x??1x2?2x2?12?0 x2 不存在。
?xlim??x?13??1? lim??; x?1?1?x1?x??1?x?x23?解：原式=lim? ?3?x?11?x???2?x?x2?limx?1?lim x?1??limx?x?11?x?x2??1 lim?x??1??sinx?xsin?． x??x解：原式?limsinx?limx??x??xxsin1?0?1?1x2?ax?b?5，求a、b．.设limx?11?x解：由题意limx?ax?b?lim1?x?0 x?1x?12?1?a?b?0?b?? x2?ax?bx2?ax??5?lim??limx?1x?11?x1?x?lim?x?11?x??lim?x?1?a??7?a??7,b?6?sin3x,x?0?5.若f??ax在点x?0处连续，求a的值． ?x?0?1,解：有题意limf?f x?0即limsin3x3sin3x?1?lim??1 x?0x?0aax3x3sin3x?lim?lim?1 x?0ax?03x3??1?1 a?a?3习题1.42.求曲线y?x2?2x?1在点的切线方程，并作出函数的图像及其切线．解：曲线y?x2?2x?1在点的切线的斜率为k?y?|x??1??|x??1??|x??1?0?切线方程为y=03??x,3.判断函数f??2??x,3x?0x?0在x?0处是否连续?是否可导? f?limx?f 解：?lim??x?0x?0f?limx?f 且lim??x?0x?02导数定义的利用例若lim?x?0f?f?x12?k，则lim?x?0f?f?x等于A．2k B．k C．k D．以上都不是分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于lim?x?0?x2??x2??x?2?2k，应选A?limf?f?x?0?2?limf?f?x?0求曲线方程的斜率和方程例已知曲线y?x?1x上一点A，用斜率定义求：25点A的切线的斜率点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率kA，即求lim解：?y?f?f 12??x12??x2f?f?x?0?2??xxlim?x?0?yx?x??lim??? ?x?02?x?x?x????13lim??1?? ?x?024??切线方程为y?即3x?4y?4?052?34说明：上述求导方法也是用定义求运动物体S?S在时刻t0处的瞬时速度的步骤．判断分段函数的在段点处的导数?12??2例已知函数f??，判断f在x?1处是否可导？?1??2分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．1?y?x?lim?x?0?2?1??x?1?12解：lim?x?0lim??x?0?y?x?lim?x?01?12???2?2???x12∴f在x?1处不可导．f?f?x说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim ?x?0，当?x?0；包括?x?0；?x?0，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．??利用导数定义的求解例设函数f在点x0处可导，试求下列各极限的值． 1．lim2．limf?f?x2hk?0；.?x?0f?f3．若f??2，则limf?f2k12等于A．－1 B．－ C．－1 D．分析：在导数的定义中，增量?x的形式是多种多样的，但不论?x选择哪种形式，?y也必须选择相对应的形式．利用函数f在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．解：1．原式＝lim?x?0f?f???lim?x?0f?f??x2h??f?2．原式＝limf?f?f?f?f?ff?f?1?lim?lim ?h?02?h?h?h?0?12 ??f??ff?.?2，3．?f??lim∴lim k?0f?x0f?kk?0f?f2klimk?0??12f?1212ff?2??1.故选A．说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．利用定义求导数例 1．求函数y?x在x?1处的导数；22．求函数y?x?ax?b的导数．分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数y?f在x?x0处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．解：1．解法一：?y??y?xlim?x?0??x?1，???x?1?x1??x?1 ??121??x?1,?y?x?1,12.?解法二：?y? ?y?xx??x??xx1x??x?xx??x?x，??,lim?x?0?y?x?lim?x?01x??x?12x?21x.∴y??12x,?y?x?1?.2．?y?[?a?b]? ?2x??x??a??xx? ?y?xlim?x?02222???x??x2x,?y?x?lim?2x?a,?y??2x?a.?x?0说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．证明函数的在一点处连续例证明：若函数f在点x0处可导，则函数f在点x0处连续．分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明f在点x0处连续，必须证明limf?f．由于函数f在点x0处可导，因此，根据函数在点x0处x?x0可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式的转化．解：证法一：设x?x0??x，则当x?x0时，?x?0，limf?limfx?x0x?x0?limx?x0?f?f?f??lim?f?f???x?f ?x?x0??x??f?f?x?lim?x?limf?x?0?x?0?lim?x?0?f??0?f?f.∴函数f在点x0处连续．证法二：∵函数f在点x0处可导，∴在点x0处有 lim[f?f]?lim?y?x?0x?x0?y??y??limx??lim?lim?x x?0?x?0?x?x?0??x??f??0?0∴limf?f.∴函数f在点x0处连续．x?x0说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数f在点x0处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在?连续?有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为limf是使论证推理出现失误的障碍．?x?0。