第7讲一元二次方程
陕西《中考
说明》
陕西2012～
2014年中考
试题分析
考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重
一元二次方
程及其解法
理解配方
法，会用因
式分解法、
公式法、配
方法解简单
的数字(有
理数)系数
的一元二次
方程
2014 选择题8 3
一元二次方
程的解的定
义
2013 填空题12 3
一元二次方
程的解法
1.7%
由表格呈现内容可看出陕西历年中考对一元二次方程的考查主要是一元二次方程解的意义及解一元二次方程，如2014年第8题考查了一元二次方程解的意义，2013年第12题考查了解一元二次方程，题型主要以选择题和填空题为主，分值为3分，设题较为简单，预计在2015年的中考中，一元二次方程解的意义及其解法仍是本节考查的重点内容，题型为选择或填空，分值为3分，难度不大．
1．定义
只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．
2．解法
首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
__x＝
－b±b2－4ac
2a
(b2－4ac≥0)__．
4．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个__相等__的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程__没有__实数根．
5．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝__－
b
a
__，x1x2＝__
c
a
__．
转化思想
一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式
法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．
一个注意
注意：(1)根的判别式“b 2
－4ac”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使
用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2
＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．
一个防范
正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．
1．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52
ax ＋a 2
＝0的一个根，则a
的值为( B )
A ．1或4
B ．－1或－4
C ．－1或4
D ．1或－4
2．(2013·陕西)一元二次方程x 2
－3x ＝0的根是__x 1＝0，x 2＝3__．
一元二次方程的解法
【例1】 解下列方程：
(1)x 2
－2x ＝0；
(2)(2014·徐州)x 2
＋4x －1＝0；
(3)(1997－x)2＋(x －1996)2
＝1.
解：x 2
－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2
(2)原式可化为(x 2＋4x ＋4－4)－1＝0，即(x ＋2)2
＝5，两边开方，得x ＋2＝±5，解
得x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5 (3)解法一：(1997－x)2＋(x －1996)2－1＝0，(1997－x)2
＋(x －1997)(x －1995)＝0，(x －1997)[(x －1997)＋(x －1995)]＝0，2(x －1997)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996
解法二：因为(1997－x)2＋(x －1996)2＝[(1997－x)＋(x －1996)]2
－2(1997－x)(x －1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x)(x －1996)＝1，2(1997－x)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996
【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．
1．用指定的方法解下列方程：
(1)(2x －1)2
＝9；(直接开平方法)
(2)x 2
＋3x －4＝0；(配方法)
(3)x 2
－2x －8＝0；(因式分解法) (4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)
解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32
，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2
＋3x －4＝0，(x
＋32)2＝254，x ＋32＝±52，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2
－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2
＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1，∴x 1＝－3－172，x 2＝
－3＋17
2
一元二次方程根的判别式
【例2】 (2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C ) A ．x 2＋4x ＝10 B ．3x 2＋8x －3＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．(x －2)(x －3)＝12
【点评】 对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．
2．(1)(2014·内江)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2
＋2x －2＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( C )
A ．k ＞12
B ．k ≥12
C ．k ＞12且k≠1
D ．k ≥1
2
且k≠1
(2)(2014·十堰)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2
－1＝0. ①若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
②若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1－x 2)2
＝16－x 1x 2，求实数m 的值．
解：①由题意有Δ＝[2(m ＋1)]2－4(m 2
－1)≥0，整理得8m ＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m ≥－1
②由两根关系，得x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2－1，(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，(x 1＋x 2)
2
－3x 1x 2－16＝0，∴[－2(m ＋1)]2－3(m 2－1)－16＝0，∴m 2
＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1.∵m≥－1，∴m ＝1
试题
(1)解方程：3x(x ＋2)＝5(x ＋2)；
(2)解方程：9x 2
＋6x ＋1＝9；
(3)解方程：x 2
－2x ＋1＝0. 错解
(1)解：3x(x ＋2)＝5(x ＋2)，
两边同时除以(x ＋2)，得3x ＝5，∴x ＝5
3
.
(2)解：9x 2
＋6x ＋1＝9，
左边因式分解，得(3x ＋1)2
＝9，
两边开平方，得3x ＋1＝3，∴x ＝2
3
.
(3)解：x 2
－2x ＋1＝0，
配方，得(x －1)2
＝0，
两边开平方，得x －1＝0，∴x ＝1. 剖析
(1)解方程3x(x ＋2)＝5(x ＋2)时，方程两边同时除以含x 的代数式破坏了方程的同解
性，遗失了一个根x ＝－2；解方程9x 2
＋6x ＋1＝9，在开平方时，由于只取了一个算术平方
根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了一个根；解方程x 2
－2x ＋1＝0时，解得的结果应写成x 1＝x 2＝1.
(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)根的判别式表明，在Δ＝b 2
－4ac≥0时，有两个实数根，即Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ＝0时有两个相等的实数根．但在解题过程中，往往出现只有一个根的现象，这就表明遗失了一个根．
(3)规范解答，理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的规范步骤，才能避免失根．
正解
(1)解：3x(x ＋2)＝5(x ＋2)，
3x(x ＋2)－5(x ＋2)＝0， (x ＋2)(3x －5)＝0， ∴x ＋2＝0或3x －5＝0，
∴x 1＝－2，x 2＝5
3.
(2)解：9x 2
＋6x ＋1＝9，
左边因式分解，得(3x ＋1)2
＝9， 两边开平方，得3x ＋1＝±3， 即3x ＋1＝3或3x ＋1＝－3，
∴x 1＝23，x 2＝－43.
(3)解：x 2
－2x ＋1＝0，
配方，得(x －1)2
＝0， 两边开平方，得x －1＝0. ∴x 1＝x 2＝1.。