sinc
⎡ ⎢⎣
L
⎛ ⎜⎝
u
−
m d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
L>>d 时，可忽略 各项之间的交叠
=
aL d
⎧ ⎨sinc
(
Lu )
⎩
+
sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
sinc
⎡ ⎢⎣
L
⎛ ⎜⎝
u
−
1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+
sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
sinc
⎡⎢⎣ L
⎛ ⎜⎝
u
+
1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+ L⎫⎬ ⎭
解：(可能与教材略有不同)
设两个输入图像分别用f1(x,y)和f2(x,y)表示，由给定条件可知，整个输入图象
为：
t(x1, y1) = f1(x1 − a, y1) + f2 (x1 + a, y1)
单位振幅T平(u面, v波)垂=直F照1(射u,输v)入e面xp，[频−谱j2为π au] + F2 (u, v) exp[ j2π au]
滤波后的频谱：
T '(u,v) = T(u,v)H(u,v) = {F1(u,v)exp[− j2π au]+ F2(u,v)exp[ j2π au]}
[1+ cos(2π au)] 21
T '(u,v) = F1(u,v) exp[− j2π au]+ F2(u,v)exp[ j2π au]
+ (1/ 2)[F1(u,v) + F2(u,v)]
δ
(u
+
u0
)
−u0 t(x3 ) = 1/ u0
t0
+
t1 2
u0 exp(−
j
2π
u0
x3
)
1/ u0
1/ u0
t02
+
t12 4
+ t0t1 cos(2π u0x3)
20
例 8.1.2
在4-f系统的输入平面上输入两个图像，它们的中心在x1轴上，距坐标 原 点 分 别 为 a 和 -a ； 在 频 谱 面 上 放 置 一 个 正 弦 振 幅 光 栅 ， 其 振 幅 透 过 率 为 ： H(u,v)=1+cos(2πau)。试证明：在像面（输出面）中心可得到两图像之和。
在P2面放
改造信息。
5
置水平狭缝
6
1
8.1.2 空间滤波的概念、数学描述、系统及滤波器
1. 空间滤波概念：
若物面上所有空间频谱都能参与成象，则象面的复振幅分布将与物面相同，将得 到与原物完全相似像（放大或缩小）。 若在空间频谱面上插入滤波器(如狭缝、圆孔等), 则某些频谱成分将被除去或改 变(振幅减小或相位改变)，所成的像就会发生变化。这与电信号的滤波处理类似, 因此常称为空间滤波。
F (u, v)H (u, v) ⎯I⎯FT → f '(x, y)
F’(u,v) 在频域中，滤波操作是乘积：F´(u,v) = F(u,v)H(u,v) 在空域中，滤波操作是卷积：f ´(x,y) = f(x,y)∗h(x,y)
7
8
空间滤波的傅立叶分析
以一维矩形光栅作为输入图像为例，采用4F 系统。
第八章 空间滤波(Optical Spatial Filtering)
滤波：通过有意识地改变像的频谱，使像产生所希望的变换。
8.1 空间滤波的基本原理
先看看成像过程
几何光学描述: 光线，透镜折射
波动光学描述: 光波，波前变换
3
在信息光学中呢？
4
8.1.1 阿贝成像理论与阿贝—波特实验
阿贝(Ernst Abbe, 1873年，德国) 在研究如何提高显微镜的分辩本领时，提出了阿 贝成像理论，为现代成像光学、信息光学奠定了基础。 阿贝成像理论(Abbe theory of image formation)
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+
sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
sinc
⎡ ⎢⎣
L
⎛ ⎜⎝
u
+
1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
像的周期仍为d，但变成余弦振幅 光栅，且衬比度下降。这是因为高 频丢失，边沿变平滑了。若让更多 高频通过，则衬比度增大，边沿变 锐利，逐渐变为矩形光栅。
滤
波
g(x3 )
=
F
−1 {T (u)H (u)}
22
例 8.1.3
在4-f系统中，为了在像面（输出面）上得到输入图像的微分图像，试问：在频 谱面上应使用怎样的滤波器？
解：以一维情况为例 设输入图像的复振幅分布为t(x1)， 其频谱为T(u)，
∫∫ t(x3) = F −1 {T (u)} = T (u) exp[ j2π ux3]du
∫∫ t '(x3) = F −1 {T (u)H (u)} = T (u)H (u) exp[ j2π ux3]du
⎞ ⎟⎠
rect
⎛ ⎜⎝
x3 L
⎞ ⎟⎠
cos
⎛ ⎜⎝
4π x3 L
⎞ ⎟⎠
g(x3)
FT-1
14
4. 滤波器是适当宽度的不透光屏，挡掉0级，其余通过 T (u)H (u) = T (u) − aL sinc ( Lu)
d
g(x3) = F −1 {T (u)H (u)}
=
t(x3 )
−
a d
rect
⎛ ⎜⎝
x3 L
⎞ ⎟⎠
滤 波
g(x3 )
=
F
{−1 T
(u)H
(u)}
=
t(x3 )
−
a d
rect
⎛ ⎜⎝
x3 L
⎞ ⎟⎠
FT-1
g(x3)
x3
当a/d=1/2
直流成分＝1/2, 像面振幅分布:周期仍为 d，矩形，有负值。
像面强度分布：均匀分 布，1/4。衬比度为0。
15
16
g(x3) = F −1 {T (u)H (u)}
H (u) = ?
23
∫∫ Q
∂t(x3 ) = ∂ ∂x3 ∂x3
T (u) exp[ j2π ux3]du
= ∫∫T (u) j2π u exp[ j2π ux3]du
∴ H (u) = j2πu 微分滤波器
镀膜，计算全息， 振幅与相位模片 叠合，液晶器件
24
4
8.2 系统与滤波器
8.2.1 空间滤波系统
u = x2 λf
11
1. 滤波器是一个适当宽度的狭缝, 只允许0级通过
H
(u)
=
rect
⎛ ⎜⎝
u Δu
⎞ ⎟⎠
,
T '(u) = T (u)H (u) = aL sinc ( Lu)
d
狭缝的透过率函数
输出面P3上的场分布为：
g(x3 )
=
F
−1{T
'(u)}
=
a d
rect
⎛ ⎜⎝
x3 L
⎞ ⎟⎠
直流成分<1/2, 像面振幅分布:周期仍为d， 矩形，有负值。
像面强度分布：不是均 匀分布，不反转, 衬比度 下降。
17
18
3
例 8.1.1
在4f系统的输入平面上，放置一个正弦振幅光栅，其振幅透过率为： t(x1)=t0+t1cos(2πu0x1)。若：
(1)在频谱面上放置一个小圆屏只档掉0级谱，求像的强度分布及可见度。
2 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+
sinc
⎡⎢⎣ L
⎛ ⎜⎝
u
+
2 d
⎞⎤⎫
⎟⎠⎥⎦
⎬ ⎭
像 的 振 幅 分 布 出 现 负 值 ， 是 周 期 变 为 d/2
的余弦振幅光栅。
像的强度分布的周期为d/4 ，衬比度为1。
|g(x3)|2
滤
波
g(x3 )
=
F
−1 {T (u)H (u)}
=
2a d
sinc
⎛ ⎜⎝
2a L
物体是不同空间频率信息成分的叠加集合; 成像过程可分为两步：入射光场经物面发生衍射，形成频谱；频谱面上每一点 作为次波源发出次级球面波，这些次级球面波在像面叠加，形成物体的像。
阿贝—波特实验Abbe-Porter Experiments
在P2面放 置垂直狭缝
意义：首次引入空间频谱概念，启发人们用频谱的语言分析成像，可用改造频谱的方法
=
a d
rect
⎛ ⎜⎝
x3 L
⎞ ⎟⎠
⎡ ⎢⎣1
+
2sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
cos
⎛ ⎜⎝
2π x3 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
g(x3) FT-1
13
3. 滤波器是一个适当宽度的双狭缝，只允许±2级通过
T
(u)H
(u)
=
aL d
sinc
⎛ ⎜⎝
2a L
⎞ ⎟⎠
⎧ ⎨sinc ⎩
⎡⎢⎣ L
⎛ ⎜⎝
u
−
t ( x1 )
=
⎡⎢⎣rect
⎛ ⎜⎝
x1 a
⎞ ⎟⎠
∗
1 d
comb
⎛ ⎜⎝
x1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
rect
⎛ ⎜⎝
x1 L
⎞ ⎟⎠
光栅常数为d，缝宽为a，光 栅沿x1方向的宽度为L。
4f系统