指数与指数幂的运算 A一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．学习策略：学习实数指数幂及其运算时，应熟练掌握基本技能：运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（1）零指数幂：a0= （a0）（2）负整数指数幂：a -p = （a 0, p 是 数）（3）一般地，如果一个数x 的 等于a ，即a x =2，那么，这个数x 就叫做a 的平方根。
也叫做二次方根． 一个正数有 个平方根，它们是互为 ；0只有 个平方根，它是 ；负数 平方根．（4）一般地，如果一个数的 等于a ，这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）．要点一：整数指数幂的概念及运算性质1．整数指数幂的概念()*....................................n a n Z =∈；()0......................................0a a =；...................................(0,)n a a n Z*-=∈．2．运算法则（1）m n a a ⋅= ；（2）()n m a = ；（3）()............................0mn a m n a a =>≠，；（4）()m ab = ．要点二：根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n =y (n ∈N *，n >1，y ∈R )，则x 称为y 的n 次方根．n 为奇数时，正数y 的奇次方根有 个，是 数，记为n y ；负数y 的奇次方根有 个，是 数，记为n y ；零的奇次方根为 ，记为要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID ：#10160#39163000n =；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有 个，记为n y ±；负数 偶次方根；零的偶次方根为 ，记为．2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，()n n a = ；（2）,()||()n n a n a a n ⎧=⎨⎩................为数为数．要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取 时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三：分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a >0，n ，m ∈N *，且mn 为既约分数，分数指数幂可如下定义：1n a = ；....................................()mm n n a ==；mn a -= ．要点四：有理数指数幂的运算性质1．有理数指数幂的运算性质()00,a b Q αβ>>∈，，（1）a a αβ⋅=（2）()a αβ=（3）()ab α=当a >0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．要点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如2244(4)(4)-≠-；（3）幂指数不能随便约分．如2142(4)(4)-≠-．2.指数幂的一般运算步骤有括号先算 的；无括号先做 ．负指数幂化为 ．底数是负数，先确定 ，底数是小数，先要化成 ，底数是带分数，先要化成 ，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝ ，（a ±b ）2＝ ，（a ±b ）3＝ ，a 3－b 3＝ ，a 3＋b 3＝ 的运用，能够简化运算.类型一：根式例1. 求下列各式的值：（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a b π----.【答案】【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.（1）（2）（3）（4）【总结升华】举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1）33(2)-；（2）24(9)-；（3）66(4)π-；（4）88(2)a -.【答案】典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID ：#10169#391630例2.计算：（1）526743642++---；（2）112121++-.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）（2）【总结升华】举一反三：【变式1】化简：（1）3434322(12)(12)-+-+-；（2）222169(||3)x x x x x -+-++<【答案】（1） ；（2） 。
类型二：指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a a ⋅；（2）332a a ⋅；（3）a a ；（4）23633y x y x y x 。
【答案】【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）（2）（3）（4）解法一：解法二：【总结升华】举一反三：【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）52a a ⋅；63xx x ⋅【答案】（1） ；（2） 。
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）682；（2）(0)a a a >；（3）332b b ⋅；（4）52231()x x 。
【答案】【解析】（1）（2）（3）（4）例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433331733246339--+(3)2633634125(36)(4)(3)ππ-+-+---。
【答案】 ； ；【解析】(1)(2)(3)注意：举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)100.25634317()()82(23)86-⨯-+⨯+⨯；(2)413333223338(12)24a a bb a a a ab b -÷-⨯++.【答案】【解析】(1)(2)【变式2】计算下列各式：1203311326()()(1.03)()426632--+++-⋅--【答案】【解析】例5.化简下列各式.(1) 2132111136251546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)111222m m m m --+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】【解析】(1)(2)(3)举一反三：【变式1】化简：233()xy xy .答案:【解析】注意：当n 为偶数时，(0)||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x y x y x y --------+--+-【答案】【解析】【总结升华】【变式3】化简下列式子：(1)33223+-- (2)4226+(3)323221331x x x x x +++-+-【答案】【解析】(1)(2)(3)例6．已知11223x x-+=，求33222232x xx x--+-+-的值。
【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】求值：(1)已知11225x x-+=，求21xx+的值；(2)已知a>0， b>0，且a b=b a， b=9a，求a的值. 【答案】；【解析】(1)(2)三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．知识点：指数与指数幂的运算测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#10203#391630 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID：#10208#391629 进行能力提升．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：指数与指数幂的运算（基础）（#391630）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用．对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。