倒格子体积
(2 )3

v
2.5正格子中晶面指数为 （h1h2h3）的晶面和倒格矢 Kh 正交
其中Kvh

r h1b1

r h2b2

r h3b3
意味着
倒格矢
v
K h是晶面指数为
（h1h2h3）所对应的晶面族的法线
证明
uuur CA

r a1

ar3
h1 h3
v
rrr
K h1h2h3
h1b1 h2b2
h3b3 r Q ai
r bj
2
ij

v K h1h2h3
uuur CA

r (h1b1

r h2b2

r h3b3
)

(
r a1 h1

r a3 h3
)

r h1b1
r ga1 h1

h3
r b3
r ga3 h3

0
同理可证
v uuur Kh1h2h3 CB 0
v 所以晶面族（h1h2h3）与和倒格矢 Kh1h2h3 正交
r a(i

r k)
2
2
2
uuur uuur 1 r r r 1 r r a2 r r r
BA BC (2a b c) (a c) (i 3 j k)
2
2
4
ABC面的密勒指数为 (131)
（2）AC晶列的指数
C
cr
uuur uuur uuur AC OC OA
a
个原子球相切，因此，面对角线长度为
2a 4r 晶胞体积为 V a3
晶胞内包含4个原子，所以有： 4

4

(
2a )3
(4) 六角密积
x 3 4 a3
2
6
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面上其它
6个原子球相切，因此有 a 2r
由第1题知 c 8a 4 2 r
a1 、a2 、a3 h1 h2 h3
晶面指数为
d
c os
a1
h1
d c os
a2
h2
d c os
a3
h3
h1

a1
cos d
h2

a2
cos d
h3

a3
cos d
a1 cos
d
a2 cos
d
a3 cos
d

a
ky

2 h2
b
kz

2 h3
c
2 h1
a
kx

2 2
h12 a2
2 2
h22 b2
2 2
h32 c2
kx

a
h1
[ h12 a2

h22 b2

h32 ] c2
kx

a
h1
[
h12 a2

h22 b2

h32 c2
]
ky

2 h2
b
kz

2 h3
c
所以衍射极大出现在方向
acxˆ 1 acyˆ 2
3 a2c


2 a
2
3 3

2
acyˆ 3 a2c


2 a
2
3 3

yˆ
2
3 2
xˆ

1 2
yˆ


b3

2

a1
•a1a2a2a3


2
3 2
a2 zˆ

2
zˆ
3 a2c c

2
晶格常数为：

(
s1
cos
,
s2
cos

,
s3
cos

)
其中 s1, s2, s3 是保证 h1, h2 , h3 为互质数的因子,称为互质因 子
1.14 如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：
（1）ABC面的密勒指数；
C
（2）AC晶列的指数。
cr
（1）
uuur
uuur
B
r
矢量 BA 与矢量 BC 的叉乘即是Fra bibliotek2 h1a
kx

2 h2
b
ky

2 h3
c
kz

2
2
(
h12 a2

h22 b2

h32 c2
)
rr r k k0 Gh

r k0 x

2 ( h1
a
xr

h2 b
yr h3 c
zr )
(k0

2 h1 )xr
a
2 h2
b
yr
2 h3
c
zr
kx

k0

2 h1
这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。
1.3
对于六角密堆积结构，试证明：
c a

(8)1/2 3
1.633
。
底面原子及与体心原子之间均紧密接触
则红线的长度为 y 3 a 3
y2


c 2
2

a2

c 2
2


2
3 3
a

a2

3a 8r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含8个原子，所以有：
8 4(
x
3 a3
3a )3 8
3
16
简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为

3
2
2
3
6
8
6
6
16
1.6
基矢为
av1

r ai
av2

r aj
av3

a 2
r (i

r j

r k)
的晶体为何种结构？
v j)
—— 可见由
为基矢构成的格子为面心立方格子
面心立方格 子原胞基矢
倒格子基矢
b1

2
a
(i
j
k)
同理
b2

2
a
(i
j
k)
b3

2
a
(i
j
k)
—— 可见由
为基矢构成的格子为体心立方格子
2.4 证明倒格子原胞体积 倒格子基矢

axˆ

a2 a3

a xˆ 2 czˆ

3a yˆ 2
相应的倒格子基矢为：
容易看出此倒格子为 简单六角布喇菲格子


b1

2
a1

•a2a2
a3 a3


2

b2

2
a1

•a3a2
a1 a3


2

3 2
第一章 习题
1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
1.2 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子
axˆ byˆ czˆ

b1 b2

2 a 2 b
xˆ yˆ
b3

2 c
zˆ
任意倒格矢
Gh
h1b1 h2b2
h3b3
2 h1 a
xˆ
h2 b
yˆ
h3 c
zˆ
r
因入射X射线方向沿[100]方向故有 k0 k0xˆ

a 2
r (i

r j

r k)
由此可推断为体心结构
1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13见课件
1.11 已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 av1 ，av2 和 av3 , 现测知 该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α、β和γ，试求 该晶面的面指数
解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为
以刚性球堆积，则体心原子与处在8个
顶角位置处的原子球相切，因此，对
a
角线长度为 3a 4r r 3 a
4
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含2个原子，所以有：
2 4(
x
3 a3
3a )3 4

3
8
(3) 面心立方
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面角处4
b
A
uAuurBC面uu的ur 法u线uu矢r 量 BA OA OB
(ar

r b)

1
r (b

cr )

1
(2ar
ar

r b

cr )
2

12a(2ri