2
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
6 小结
一维双原子链的振动有以下主要特点
1) 相邻同类原子之间传递振动状态； 2) 波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N； 3) 对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波； 4) 格波布里渊区边界出现频隙； 5) 光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频 率不同，描述的原子振动状态不同。
声学波
min
0 0
max / 2a
min
2k / M
光学波
/ 2a 2 k / m
第五章 晶格振动
在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是
处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确
切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，
它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶
体内原子间存在着相互作用力，因此各个原
子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，
整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，
这个系统的运动称为晶格振动。
色散关系：
k qa 2 sin m 2
q：波矢 k：表示弹性常数
q的可取值是分离的：
2 2 q l l Na L
l取任意整数
（二）一维双原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
1 引言
CsCl晶体
2 建立模型
两种原子m和M _( M > m)，系统有N个原胞 1 最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用 力；
v
Y

v弹
2） 关于格波角频率
格波的角频率 ω 是波矢q的周
期函数：
2 q q a
格 波 的 角 频 率 ω 有 极 大
值： m 2 k / m ，而在连 续介质的平面波中，角频率 是没有上限的 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
晶格振动不仅对晶体的比热、热膨胀和
热传导等热学性质有重要影响，而且和晶体
的电学性质、光学性质和介电性质等也有密
切关系。应用晶格振动理论可对物理性质作
比较统一的论述，为简单起见，我们先考虑
一维晶格的振动，然后再把所得得的的主要
结论加以推广，引出三维晶格振动的基本特
征。
本章要研究的内容：晶格振动及其对晶体
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原
子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子
(质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相
差也是2qa。
2)q的取值
采用周期性边界条件
2n 2 N 2n ei 2 Nqa 1
q

波矢q的值
q 2a 2a

/
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 声学波
2 m 2k B ( ) 0 A 2k cos aq
—— 光学波
5) 长波极限下的两种格波
长声学波中相邻原子的振动
长声学波
2k ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2k B ( ) A 2k cos aq B ( ) 1 A
Na
l
l为整数
—— 第一布里渊区 布里渊区大小
/a
第一布里渊区允许的q值的数目

a Na
N
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
3) 色散关系的特点
周期性 频率间隙
( )min
q 2a ~ ( )max

当( )min ( )max
2 n q , n为整数 qmin L L
则：
上限，被限制在一定的区
间。
2 建立模型
1） 最近邻假设：只考虑最近邻原子之间的相互作 用力； 2） 简谐近似：相互作用力为简谐力 ； 3） 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
3 建立运动方程
1 )对于第n个原子有： d 2 un m k un un 1 k un un 1 2 dt 2 )对于单原子链上的每一个原子，都遵从类似的方 程，共有N个类似方程，且相互耦合。
格波的角频率ω与波矢q只能
取间断数值。
例2
有一维单原子链，原子间距为a，分别画出下列波矢条 5 件下的原子瞬时位移图形。q1 ，q2 2a 2a 解： 2 1 4a
q1 2 4 2 a q2 5
波矢的取值


a
q

a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
2 简谐近似：相互作用力为简谐力 ；
3 波恩－卡曼周期性边界条件：
波恩－卡曼周期性边界条件
un uN n
u2 n u2 N 2 n u2 n 1 u2 N 2 n 1
3 建立运动方程
第2n+1个M原子的方程 M 2 n1 k (22 n1 2 n 2 2 n )
h / 2
显然，原子振动的能量是量子化的。n=0对应的能量 称为零点能量，相邻能级的能量差为 。
二 简谐振动的耦合
• 事实上，晶体中原子的振动并不是独立的，
而是相互关联的，这种关系称为耦合。
（一）一维单原子链的振动
（二）一维双原子链的振动
（一）一维单原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
3）极限波长下的原子振动
长波极限下
q0
相邻两个原子振动位相差
q(n 1)a qna qa 0
2 可认为是连续 介质 q
短波极限下
q a
2 2a q
小结
格波： n Aei qnat A cost qna u
具有平面波的形式，称为格波。
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 声学波
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
—— 光学波
第2n+1个M原子 M 2 n 1 k (22 n 1 2 n 2 2 n )
第2n个m原子
方程的解
m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei[t (2 na ) q ]
格波
2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ] m 2 A k (eiaq e iaq ) B 2kA 2 iaq iaq M B k (e e ) A 2kB (2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0
1 引言
三维问题的简化
体心 立方的铁
一维单原子链
一维单原子链振动的简介
在一维连续介质中传播的弹性波 一维单原子链中离散的原子 耦合振动形成的波
波矢q的可 2 v弹 取值是分离 v弹q 的 链长的有限性造成的波矢 v弹 Y q取值的分离性将保持， ω与 q的线性关系一般不 若弦或棒为有限长(L)，则形成 存在，且振动角频率ω有 驻波，L必为半波长的整数倍，
—— 不存在格波 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器
4) 两种格波的振幅
(m M ) 4mM k {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
(2k m 2 ) A (2k cos aq) B 0 (2k cos aq) A (2k M 2 ) B 0
解得
x A cost
E kx / 2
2
d x m 2 f kx dt
2
k /m
系统势能
对晶格振动，如温度不是很高，原子只在平衡位置附近
作微小位移，这时的晶格振动满足简谐条件，k等于f(r)r 曲线在r0处斜率的绝对值，m是原子质量。
2 一维简谐振动的量子力学处理
第2n个m原子的方程 m2 n k (22 n 2 n 1 2 n 1 )
方程解的形式
2 n Aei[t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不相等
4 求解
—— 与q之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递 波矢q的取值 色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
2 n Ae
i [t (2 na ) q ]
and 2 n 1 Be
i [t (2 n 1) aq ]
联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
k k qa 2 sin a q vq q 0 m m 2
ka v ，而Y ka， m a m/a
•原子是一种量子，其运动规律受量子力学支配。
一维谐振子的主要结论（在第一章已经学习过） 由于简谐振子的势能为V kx 2 / 2 ，将这个关系代入 薛定谔方程，就可以确定简谐振子的波函数。可以证 明，量子化的简谐振子能量的可能值为：
n 0, 1, 2, 3,
1 E n =(n+ ) 2
iaq
2
iaq