16
德拜温度ΘD往往由实验确定，使在不同的温
度下，晶格热容CV的理论值与实验值相符，从而确
定ΘD。
17
• 实验和理论的比较
高温情况：固体实际热容和爱因斯坦模型比较
爱因斯坦模型热容表示式（3-71）中：
eE
e E T
T
1 2

1E / E /T
T
2


T
E
2
谐振子。根据经典理论的能量均分定理，每个简谐振
子的平均能量为kBT(kB为玻耳兹曼常数)，因而总晶
格振动能为：
相应的热容为：
U＝3NSkBT
CV＝3NSkB
CV,m=3NAkB=3R 5
其中，NA为阿伏伽德罗常数。摩尔热容与材料的
性质及温度无关，符合杜隆—泊替定律。固体热容在
低温下正比于T3是经典物理无法解释的难题。
10
• 爱因斯坦模型
假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动，则
晶体中的格波频率都相同。NS个原子组成的晶体
U T ＝3NS E(
,T
)＝3NS


1 2

e
1
kBT

1
则热容CV为：
（3-69）
2
Cv＝
U T
＝3NSkB v


kBT

15
引入德拜温度ΘD，设 D kBΘD
换：
x＝
kBT
d＝ kBT dx

则式（3-73）可改写成：
，作变量代
C
v＝
3V 2 2
3 p
D T
kB4T 3
x4
0
2
e x dx ex 1 2
＝9NkB
T3 D3
D T
0
x 4e x dx
ex
2
1
（3-76）
第三章 晶格振动
§3-4 晶体的热容
• 概述
在一般温度变化范围的过程中，固体的体积变化不大，
可近似地视为定容过程。定容热容定义:单位质量的
物质在定容过程中，温度升高1℃时，系统内能的增
量，即
C

lim T 0
U T
＝ V
U T
V
Volum 1 e
晶体的运动能量包括:
曲线尽可能地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦
温度ΘE。对大多数固体，ΘE在100～300K之间。
12
• 德拜模型
把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N 个初基原胞组成的三维单式格子(S＝1)，晶体中仅 有3支声学支格波，并设它们的相速vp都相同。因
而三支格波的色散关系均是线性的:
ω=vpq
则等频率面（等能面）为球面：
e / kBT e / kBT 1 2
（3-70）
11
式中的频率ω还是个待定的量。为了确定ω，引入 爱因斯坦温度ΘE，定义：
E kBE
则热容成为ΘE和温度T的函数：
2
Cv＝3NSkB

E T

eE /T
e E T
2
1
（3-71）
在声子热容CV显著变化的温度范围内，使热容理论
则定容热容为：
C＝
U T
＝ V T
m
0
gE,T d
8
把式（3-58′）代入上式，得到
C＝
m 0
kB


kBT
2

e kBT e kBT－1
2
g

d
（3-68）
格波态密度函数：
3s
g ＝
晶格振动能量Ul (Lattice) 电子运动能量Ue (Electron) 对热容的贡献分别用晶格热容CVl 和电子热容 CVe来表示。除极低温下金属中的电子热容相对较大， 通常CVl＞＞CVe，故晶格热容CVl简化为CV。
2
固体热容的实验定律：高温下的杜隆—珀替 （Dulong
-Petit）定律和低温下的德拜（Debye）定律。
量子理论热容的计算 然而，从量子论的观点出发，每个谐振子能量都是量
子化的，其平均能量不再是kBT，而成为：
6


E ＝ 1 ＋
1

2
exp

kBT


1



1

2

n



（3-58′）
晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和，晶体的
m
0
kB2


kBT
2

e kBT e kBT 1
2
d
（3-73）
14
式中，截止频率ωm又称为德拜频率，记为ωD，它
由格波总数等于3N来确定：
D
0
g

d＝ 3V
2
2
3 p

0
D

2d＝3N
求得：
（3-74）
D3

6π2N p
V
（3-75）
杜隆—珀替定律：对确定的材料，高温下的热容为常 数，摩尔热容为3R，
R=8.314510±0.000070J/(3成正比。
3
图3-19 硅、锗的热容与温度的关系
4
经典理论热容的计算
设单位质量的晶体中有NS个原子，则其自由度数为
3NS。晶体中的格波可归结为3NS个相互独立的简

主要因为高温时ΘE/T＜＜1，又当x ＜＜ 1时，
ex≈1+x，那么（3-71）成为：
CV＝3NSkB
19
若所考查的晶体为1mol 同元素的物质，则
∣qω(q)∣＝ d
dq

vp
13
由式（3-48）可得格波态密度函数：
g()

3S

i 1
gi
()
3S

i 1
V (2π)3

dS
qi (q)
3 V 4πq2 3V
(2π)3 vp 2 2v3p
代入式（3-68），得：
（3-72）
Cv＝
3V
2 2
3 p
3NS个量子谐振子与3NS个格波一一对应，晶格振动
能也就是各个格波能量之和：
U
=
3NS
Ei
i 1

3NS 1
(
i1 2
+n
) ωi
（3-67）
7
由格波态密度函数g(ω)的定义，上式可写成：
U＝0m g()E(,T )d
其中，ωm为截止频率，且有：
m g()d() 3NS 0
i 1
gi
3s
＝
i 1
V
2
3
dS
qi q
（3-68′）
9
对于具体的晶体，求解g(ω)十分困难，式（3-68） 的积分也不容易。人们经常使用简化的模型来讨论晶 体热容问题。主要包括：爱因斯坦（Einsten）模型 和德拜(Debye) 模型，均建立在谐振子能量量子化 的基础上，得出了基本正确、超越经典物理的结论。 另一方面它们又都对格波的态密度函数作了不同程度 的近似。因而结论在定量上与实验有不同程度的偏差。