机 械 波( 二 个 必 要 条 件)
波源( 振源) 弹性媒质
最初振动的物体 传播振动的物质
传播过程的基本特征: • 波是振动状态(振动位相)的传播。(不是振动物质的传播)
每个质点均在自己的平衡位置附近振动, 并未随波的传播而传播。
• 媒质中各质点沿波的传播方向依次发生同样的振动。
后振动的质点比先振动的质点落后一定的相位（相位落后就是相位小)，
1、 平面简谐波的表达式
任一条波线 —— X 轴 , 各质点离开平衡位置的位移 —— Y 轴
(1) 沿 X 轴正向传播的平面简谐波
已知原点O 的振动方程
Y
u
y0 Acos ( t )
P
求t 时刻x 处(P点)的位移y
O
X
O点的振动传到x 处的时间t x
x
u
t 时刻x 处的位移 ( t t )时刻O 点的位移
5.0103 m/s
y 0.1103 cos［25103 ( t 210-4 x)］m
(3) x 0.10 m , y 0.1103 cos［25103 ( t 210-4 0.10 )］
0.1103 cos［25103 t ］m
2
(4) x1 0.20 m ,
x2 0.30 m ,
x2 u
x1
25103
0.10 5.0103
2
2020/12/4
机械波
四、波的能量 能流密度
机械波传播 振动 —— 动能 (弹性媒质) 形变 —— 弹性势能
x x x
1、 波的能量
y
y +y
讨论沿细棒传播的简谐纵波 y Acos ( t x )
u
棒密度 , 截面积s , x x x 媒质元: m V sx f Y y
相邻质点的距离。
波的频率 —— 单位时间内振动传播出去的波长数。
波源振动一周 (一次) → 振动传播一个波长
单位时间内波源振动 次 → 振动传播 个波长
∴ 波源的振动频率 = 波的频率
波的周期 T —— 振动传播一个波长所需的时间 = 波源的振动周期
1
T
波速 u —— 单位时间内振动传播的距离。
u 若 x 固定, y ( x , t ) 代表x 处质点的振动位移
x 处质点速度 v y Asin ( t x )
t
u
x 处质点加速度a
2 y t2
2 Acos
(
t
x) u
若t 固定
y Asin ( t x )
x u
u
2 y x2
2
u2
Acos ( t
x) u
波动方程
0.20米和 0.30米两质点振动的位相差
解: (1) y Acos t Acos 2 t Acos (2 12.5103 t)
0.1103 cos (25103 t) m ( 25103 )
(2) 取 波 源为 原 点, 波 沿X 正 向 传播 y Acos ( t x )
u
u
Y
1.9 1011 7.6 103
5、理解驻波的概念和形成条件，了解波腹、波节等概念。 6、理解半波损失的产生过程，掌握发生半波损失的条件 和其中的相位关系。
7、理解多普勒效应并能计算波源和观察者在同一直线上 运动时的频率变化。
2020/12/4
机械波
一、机械波的形成和传播
波 —— 振动的传播 机械波 —— 机械振动的传播 简谐波 —— 简谐振动的传播 1、 机械波的形成
波速 —— 波形的传播速度
2020/12/4
x ut
机械波
波动表达式的确定
(i) 先写出标准表达式 y Acos [ (t x ) ]
u
(ii) 代入已知点, 比较确定标准表达式中的 即可。
或 (i) 先求出振动源点的振动方程 y Acos ( t )
(ii) 再将t 换成( t x )即可。 u
应力
应变
df
YS
2y 2x dx
2020/12/4
机械波
质量为 dm Sdx
(f
df )
f
(dm)
2 y 2t
的质元运动方程：
即：
df
S
2 y dx
2t
从而：
YS 2 y dx 2x
S 2 y dx
2t
或：
2y 1 2y ,u2 Y
x2 u2 t2
波速完全取决于媒质的性质: (细捧) u Y
P
O 0.2 1.0
1.8
0.1
x( m )
2 x 2 0.2
1.6
4
o点振动的初相0
4
A
0.1
sin
4
0.141m
y
0.141cos5
t
x 4
4
2020/12/4
机械波
例：一列频率为0.5Hz的平面简谐波向右传播，在t=1/3秒 的波形如图所示，求：(1)波函数； （2） c点离o点的距离。 (3) c点的振动表达式；
波源振动一周 ( t=T ) → 振动传播一个波长
波动的基本关系
u λ
T
u: 位相传播的速度 ( 相速度 )
2020/12/4
机械波
4、 波面和波线
波线
波阵面 —— 某一时刻具有相同振动状态
(相同位相)的质点所构成的曲面。
波前 —— 波动到达最前面的波阵面。
波线 —— 沿波的传播方向所引的直线。
波线 波阵面 (各向同性介质) 波面
波线
波面
球面波 —— 波阵面是以点波源 为中心的球面。
平面波 —— 波阵面为平面。
r , 球面波 平面波
2020/12/4
机械波
二、平面简谐波的描述
简谐波 —— 波源的振动为谐振动。
平面波 —— 波阵面为平面, 波线为垂直于波阵面的平行线。
只需研究任一条波线上各点的振动状态 → 一维问题
y Acos (t x ) Acos (t t x u t ) Acos (t t x x )
u
u
u
(t t)时刻( x x)处质点的位移 t 时刻 x 处质点的位移
(t t)时刻的波形 t 时刻的波形沿波的传播方向平移 x ut
波的传播 (空间上的传播 ) —— 波形的传播
y
p点振动方程
u A
y
x1 ， O点振动方程
cos(t
Acos[(t ux
x1 ) )
u
u
x1 ]
解2：y
Acos(t x
A cos [ ( t
x
x1
u
)]
u
x1 )
u
y
A cos (t
u
x
u
x1
)
2020/12/4
机械波
例：如图所示，已知t=0, t=2s的波形图，求波动表达式
A 0.1m, 160m
u
u
( x1 比 x2 超 前)
波的传播 ( 时间上的传播 ) —— 振动位相的传播
当x
x2
x1
k
2k
λ 2
时 ，
2 k
(k 0, 1,)
( x1 ,
x2 同 相)
当x
x2
x1
( 2k
1)
λ 2
时 ，
( 2k
1)
( x1, x2 反 相)
2020/12/4
机械波
(2)、 t 给定 波动方程: 给出t 时刻各质点离开平衡位置的位移, t 时刻的波形。
(1) 、x 给定
u
波动方程: 给出 x 处质点的谐振动,各质点振动位相随 x 连续变化。
正向传播,
x1 , x2 处 振 动 方 程
y1
A cos
(
t
x1 u
)
,
y2
A cos
(
t
x2 u
)
当 x2 ＞ x1 ,
位 相 差 ( t x2 ) ( t x1 ) 2 ( x2 x1 ) ＜0
y( x, t )
y0 (t
t)
A cos［
(t
t)
］
A cos［
(t
x)
u
］
2020/12/4
机械波
(2) 沿 X 轴负向传播的平面简谐波 x 处 的振 动 比O点 的振 动 早t
x
时间
u
注 意: 原 点O并 不一 定 是波 源
x为 坐标 值, 离O点 的距 离 为x 相 速 u ＞0
2y 1 2y x2 u2 t2 ( 偏微分方程)
2020/12/4
机械波
以一维纵波沿细棒传播为例从动力学导出波动方程：
fx
y
x x y y
f f
取棒中任一小质元原长 dx ， 质量为 dm Sdx
受其它部分的弹性力为 f 和 f df 。
根据杨氏弹性模量的定义（胡克定律）：
f Y l Y y S l x
(
t
x u
)
Y u2
对于横波，推导过程中只需用切变模量代替杨氏模量，其结果相同。
2020/12/4
机械波
E p
EK
1 2
V 2 A2 sin2
(t
x u
)
机械能 E
Tu
T
Acos［ t 2 x ］ Acos［ t kx ］
Acos［2 ( t x ) ］ T
Acos［ t kx ］
2020/12/4
机械波
2、 平面简谐波表达式的物理意义
单 个 质 点 谐 振 动 y Acos t ( 设 0 )