20
x 解： 设 y = Acos[ω(t ) +φ0 ] u 由图 A= 0.10(cm)
如何确定 ω φ0 ? 由初始条件： 由初始条件：y0=A/2 v0<0 如何确定 ω ? 由M点状态 yM=0 vM>0 点状态
求：波函数和波长
M 10
x(m)
-0.10 Φ0=π/3 ΦM= -π/2 A t =0 x=0 Φ0= π/3
例：
y(x, t) = Acos(ωt + kx+0 ) x x y(0, ) = Acosω +0 u 定义 波矢 k u ξ(r, t) = Acos(ωt k r +0 )
A ξ (r , t) = cos(ωt ± kr +0 ) r
x y(x,0) = Acosω +0 u
ω t '+ =
y u O -A x1 x
π
2
πu
x1
则振动的初相为： 则振动的初相为：
= ω t ' π
2 = t '
π
2
所以振动方程可以写出： 所以振动方程可以写出：
yO = A cos(
第15章 机械波 15章
1
前言
振动在空间的传播过程叫做波动。 1. 振动在空间的传播过程叫做波动。 2. 常见的波有两大类 常见的波有两大类: (1) 机械波 (机械振动的传播 机械振动的传播) 机械振动的传播 (2)电磁波（交变电场、磁场的传播） 电磁波（交变电场、磁场的传播） 在微观领域中还有物质波（概率波） 在微观领域中还有物质波（概率波），讨论微观粒子 物质波 的波动性。 的波动性。 3. 各种波的本质不同, 各种波的本质不同, 但其基本传播规律有许多相同之处。 但其基本传播规律有许多相同之处。
x y(x, t) = Acosωt +0 u
定义角波数
k=
2π
y(x, t) = Acos(ωt kx +0 )
沿负方向传播的波的方程
λ
=
ω 12
u
Байду номын сангаас
同一振动状态X处比 处超前t=x/u 同一振动状态 处比 处超前 振动状态 处比0处超前
x y(x, t) = Acosωt + +0 u
按波面形状
按复杂程度
3
按波形是否 传播
行波（ 行波（ travelling wave ） 驻波（ 驻波（standing wave ）
…………
4
波动
一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程） 一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程） 扰动的传播 形态的传播过程
行 波
例：抖动绳子 扰动的传播（行走） 扰动的传播（行走） 一次扰动（脉冲） 一次扰动（脉冲）的传播 行波 脉冲波
2π y = Acos λ
T 2） t0 = ） 4
T 3） t0 = ） 2
x ------ t=0 时各质点的位移 T 2π y = Acosω x 4 λ
x
15
T 2π y = Acosω 2 λ
… … … … … …
t0 = T 波形恢复原样 而在一个 T 内波形向右移动了 λ 这个物理量从时间 ∴ T 这个物理量从时间 上反映了波的周期性 上反映了波的周期性
15.1.3 体应变与体积模量 体积应变 其中， 其中，比例系数
V V
记作θ 记作
正应力
σ = Kθ
Y K= (v为比例系数）--体积弹性模量 3(1 2v) 1 k = 体积压缩系数 K
15.2 机械波的产生和传播
） 1、机械波产生的条件 1）波源 、 2、横波： 、横波： 纵波： 纵波：
2π y = Acos t +1 T
t每增加T，y不变 ∴反映了振动的时间周期性 反映了振动的时间周期性
2π ∵ω = T
y = Acos(ωt +1 )
2、当 t =t0=常数 、 常数
x y = Acosωt0 ω +0 u
令
x y = Acosωt +0 u
2π
λ
ωλ 波速： 波速： u = = vλ = T 2π
λ
相速： 相速：
波面： 波面：空间同相位点的集合 波线： 波线：波的传播方向 波前 各向同性介质， 各向同性介质，波 线与波面垂直 球面波： 球面波： 平面波： 平面波：
15.3 一维平面简谐波的波函数
15.3.1 表达式
ξ = ξ (r , t)
C
B
A
D
π 解： ω = 4 s1
x
k = ω = π m1 u 5
8m
5m
(1) 原点振动方程
(2) B点与 点振动的相位差 点与A点振动的相位差 点与 B A = = 2π ( x2 x1) = k x λ = π ξB = 3cos(4π t+π) cm ξ(x, t) = 3cos(4π t π x +π) cm 5 13π) cm (3) ξC = 3cos(4π t+ ξD = 3cos(4π t 9π) cm 5 5 与坐标原点的选择无关
π π
例.一平面简谐波沿着x轴正向传播，速度为u，已知t’时刻的 21 一平面简谐波沿着x轴正向传播，速度为u 已知t 时刻的 波形曲线如图所示， 处质元位移为0 试求： 波形曲线如图所示，x1处质元位移为0。试求： （1）原点O处质元的振动方程； 原点O处质元的振动方程； （2）该简谐波的波函数。 该简谐波的波函数。 ：（1 由图可知t 时刻原点处质元振动的相位为 时刻原点处质元振动的相位为- /2，则有： 解：（1）由图可知t’时刻原点处质元振动的相位为-π/2，则有：
t x y = Acos2π ( ) +0 T λ
看出t或 每增加 每增加T或 相位重复出现 相位重复出现， 看出 或x每增加 或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。
例： 已知：图示为波源（x=0处）振动曲线 已知：图示为波源（ 处 且波速u=4m/s, 方向沿 轴正向 方向沿x轴正向 轴正向. 且波速
y
O
t =T / 4
t =0
t = 2T / 4
t = 3T / 4
x
x y = Acosωt +0 3、x , t 都变 、 u 表示波射线上不同质点在不同时刻的位移
----行波 行波
16
波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况， 波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某 时刻波形，初位相及比原点落后的相位， 时刻波形，初位相及比原点落后的相位， 还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。 还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。 由
5π y φ = φ0 φM = + = 0 A/2 3 2 6 A oM 10 1 M点经t = = s= s与0点t = 0状态相同 u 1200 120 φ t=0 M处 φM= -π/2 处 ω= =100π t y = 0.10cos[100π (t x ) + π ] λ = uT = u 2π = 24(m) ω 1200 3
y(cm) 0.5
17
时波形曲线（ 求：t=3s时波形曲线（大致画出） 时波形曲线 大致画出） 解： 0 y(cm) u=4m/s 0.5 -0.5 1 2 3 4 t(s)
0 -0.5
4
8 12
x(m)
轴正向传播的平面简谐波， 例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为 轴正向传播的平面简谐波 振幅为A=1.0m，周期 ，周期T=2.0s， 18， 波长λ 时刻， 波长λ=2.0m。t = 0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置 。 时刻 轴正向运动， 波函数； 时刻的波形图； 向ξ轴正向运动，求: (1) 波函数；(2) t =1.0 s时刻的波形图； 时刻的波形图 处质点的振动曲线； (3) x=0.5 m 处质点的振动曲线； π ω = 2π k=2 解： (1) T λ ξ(t) = Acos[ωt π ] 2 波函数 ξ(x, t) = Acos[2 ( t x ) π ] π T λ 2 (2) ξ /m t = 1.0 s ξ = Acos(π πx) 1.0 2 o 2.0 x /m ξ /m
S
FN 正应力： 正应力： σ = lim S
Ft
图15-1 应力与应变
切应力： 切应力： τ = lim Fτ
S
l0
6
F
l
相对形变： 相对形变：
F
l l0 l ε= = l0 l0
（也称线应变），ε正负号分别对应于拉伸形变和压缩形变。 也称线应变），ε正负号分别对应于拉伸形变和压缩形变。 ）， 其中 l 0 l分别对应均匀弹性杆的原 长和变形后长度。 胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比， 胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比， 比例系数称为杨氏模量。 比例系数称为杨氏模量。
ξ0 = Acos(ωt+0) 波函数 ξ = Acos(ωt kx +0) ξ(x, t) = 3cos(4π t π x) cm ξA = Acos(4π t) 5
u
9m
正向波在t 时的波形图 例2 正向波在 =0时的波形图 波速u=1200m/s 波速
y (cm) 0.05 0
t =0时 时 u
x = 0.5 m
1.0
(3)
ξ = Acos(πt π )
o
2.0
t /s
例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速 u=20 m/s，已知 A点的振 轴正向传播的平面简谐波， ， 轴正向传播的平面简谐波 19 为坐标原点，写出波方程； 动方程为 ，(1 ) cm ξ = 3cos(4π)t以A为坐标原点，写出波方程； (2)以B为 原点写出波方程； 写出C 原点写出波方程；(3) 写出C、D点的振动方程