一类解三角形中的最值问题
例 （2011全国课标1卷理16）在△ABC 中，60B
，3AC ，则2AB BC 的最大值为
【思路分析】
思路一 函数思想：以角为自变量建立函数，即利用正弦定理，用角表示出边，将问题转化为单角的函数最值问题。

由正弦定理得，，故
故
故2AB BC 的最大值为
思路二 利用余弦定理转化得到边之间的等量关系，利用不等式求最值 由余弦定理得，即（*） 设，则，代入（*）式整理得
，解得
，故2AB
BC 的最大值为
思路三：几何法。

根据题意作出几何图形，利用平面几何中的性质找到出最值对应的点 由题意可知，B 点的轨迹是在以AC 为弦，且弦所对的圆周角为60°的圆弧
上，延长AB 到D ，使得，
在△BCD 中，由正弦定理得，
解得
，即D 为定值
故D 点的轨迹是在以AC 为弦的，且所对的角的正切值为的圆上，
显然，当AD 为该圆的直径时最大，故
例 （2008江苏13）若2AB ，2AC BC ，则ABC
S
的最大值是
【思路分析】
思路一 函数思想。

将目标函数即三角形面积表示为一个自变量的函数。

解法一：
由余弦定理得
故
2S
解法二：以角为自变量。

设
由余弦定理得，
，故
故
，当且仅当
时等号成立
思路二 几何法。

本题中C 的轨迹实际上是阿波尼斯圆。

以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y
设
整理得
显然，当C 点坐标为
ABC
S
【变式练习】。