预测误差ek
变换系数
6.2 离散正交变换
基本概念
线性变换定义：
设X = (x1x2 …xN)T 为N 维列向量, 定义X的一个线性变换为: Y = AX
a1N a11 a12 a 21 a 22 a 2N A= a N 1 a N 2 a NN A称为此变换的核矩阵(N ×N 维), Y =(y1y2 …yN)T为 变换结果, 称为 X 的像。
QΦQ
−1
= diag [λ1λ2 …λ N ] λ2„λN] 的N个对角元素λ1 λ2 „λN 是Φ的N个特征根，而矩阵QT=[q1 q2 „ qN ]T的第 i个列向量，是Φ的第i个特征根λi所对应的满足归一化 正交条件的矩阵特征向量，即qi=[qi1 qi2 „ qiN]T应满足关 系：
变换后各坐标轴上方差的不均匀分 布，为数据压缩编码创造了条件。
理论推广:
推广到一串n个数据点或一块m×n个像素的子图像： 将该数据串(或数据块)看成n维(或m×n维) 空间
中的一个点， 此时的正交变换，从几何上看,不过
是n维(或m×n维)坐标系的一个旋转。
例 对于例6.1的取样值{xm}采用M点的离散傅立叶变换 (DFT)，得 yk (k = 0,1,…, M-1)，分析： 由于{xm}为缓变信号，属于低通信号，故频谱的： 低频分量大 高频分量小 舍去小的高频分量对这个信号影响 不大，故可以起到数据压缩的作用。
y1
x1
图6.2
正交变换的几何意义
由于信号变化缓变, 则两个相邻样本x1与x2的同时 出现相近幅度的概率可能性较大，即图6.2中灰色 阴影部分区域(相关圈):
信源的相关性越强，相关圈就越加“扁长”； 信源的相关性越弱，相关圈就越加“方圆”；
正交变换: 从几何上相当于把图6.2所示的(x1,x2)坐标系旋 转45°，此时相关圈正好处在y1坐标轴上下，
换域中，用变换系数来描述。
这时，人们发现这些变换系数之间的相关性明显下降， 并且能量常常集中于低频或低序系数区域中，这样就容
易实现数据的压缩，而且大大降低了实现的难度。 映射变换的关键
在于能够产生一系列更加有效的系数,对这些
系数进行编码所需的总比特数, 要比对原始数
据所需的总比特数少得多,使数据率得以降低。
x2 y2 y1
y1 变化范围大； y2 变化范围小。
x1 0
意味着y1与y2在统计上更加相互独立
通过这种坐标系的旋转变换，就能得到一组去掉大部 分甚至全部统计相关性的另一种输出样本。而且样本 方差也将重新分布。
原坐标系
σ x2 = σ x2
1
2
新坐标系
2 σy >> σ
1
2 y2
样本能量相对向y1轴相对地集中，但样本方差总 2 和并未因坐标旋转而变,sx21 + sx22 = sy2 1 +sy2 。
其中:
正交变换定义： 如果线性变换保持N 维矢量X的模不变，称为正交变换。 此时，A为正交矩阵，正交矩阵的N个行向量相互正交。 且一定为实方阵，并满足充要条件。 构成正交矩阵的充分必要条件：AAT= ATA =I I为单位矩阵，因此有： AT= A-1
反变换的得到唯一确定的复原信号： X’=A-1Y=ATY= ATAX =X
其元素:
NN
1N 2N
（6.2-4）
ij = E{[xi − E(xi )][xj − E(xj )] } = ji
T
ΦX为实对称矩阵，反映了X各分量之间的相关性， 若各分量之间互不相关，ΦX中只存在主对角元素， 代表各分量的方差。
矩阵代数已证明，对于一个实对称矩阵Φ，必存在一 个正交矩阵Q，使得：
Φqi = λi q
（6.2-6a）
1, i = j q qi = 0, i j
T i
（6.2-6b）
选正交矩阵Q作为变换矩阵A，其行向量是ΦX的特征向 量的转置，则变换后的矢量信号Y的协方差矩阵为：
ΦY = E{[Y − E (Y )][Y − E (Y )] } = E{[QX − E (QX )][QX − E (QX )] } = QE{[ X − E ( X )][ X − E ( X )] }Q = QΦX Q = Λ
正交变换实现数据压缩的物理本质：
经过多维坐标系中适当的旋转和变换，能够 把散布在各个坐标轴上的原始数据，在新的、
适当的坐标系中集中到少数坐标轴上，因此 可能用较少的编码位数来表示一组信号样
本，实现高效率的压缩编码。
广义变换编码： (x, RL) 游程编码 数据样本
算术编码
预测编码 变换编码
单位区间内的实数
T T T T T
Y的协方差矩阵为对角阵，即X各分量间的相关 性被全部去除。
例6-2
对于例6.1中的图6-2所示的旋转变换就是一种正交变
正交变换前后其自由度的数目是相同 的,从而保证了在这个变换过程中既不 会增加任何信息,也不会损失任何信息。
构造正交变换矩阵：
对反映相关性的统计特征X的协方差矩阵ΦX进行分析：
11 12 21 22 T ΦX = E{[ X − E( X )][ X − E( X)] } = N 1 N 2
映射变换
函数变换
正交变换
傅立叶变换：利用复数域正交变换(酉变换) 将一个函数从时域描述变为频域的频谱展开。 适合周期性的信号表达：语音信号的浊音、 生物医学的心电图、脑电图以及具有周期性 的遥测信号等。
例6-1 对一个缓变信号的取样值采用3位编码，则两个相邻样 本x1与x2的联合事件，如图6.2所示: x2 y2
第六章 变换编码
预测编码 对信源建模
原始数据
变换编码 原始数据
精确地预测源数据
变换
更为“紧凑”的表示空间
变换编码可获得比预测编码更高效的数据压缩性能
6.1 基本原理
原始数据 映射变换 量 化 编 码 信 道 恢复数据 反映射变换 反量化 解 码
图6.1 变换编码的通用模型
变换编码的基本原理 就是将原来在空间域上描述的图像等信号，通过 一种数学变换（如傅立叶变换、正交变换等）， 变换到变换域（如频率域、正交矢量空间）中进 行描述。简单地讲，即把信号由空间域变换到变