可以证明
这里
G(s)是该线性定常系统的传递函数 证明：为书写简便，不妨设G（s）无重极点，
显然所有极点均具有负实部。
反变换
记
则
在过度过程结束后，有
c(t)
e j t Ar {a
e j t 2j
e j t b
e j t }
2
Ar
| G( j) | sin[ t G( j)]
幅值是与ω无关的常量，其值为1 相位角与ω成线性变化 故其极坐标图是一个单位图 。
二、开环系统的幅相频率特性（多环节极坐标图）
开环频率特性通常都是由若干个典型环节串联组成。 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所 包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
绘制概略极坐标图图形的一Fra bibliotek步骤为：（若
则
）
•幅频特性： 描述系统幅度增益与频率的关系
•相频特性： 描述系统相移角与频率的关系
•频率特性：幅频特性和相频特性的统称。
二、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入， 求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复 数比即可得到。 2、根据传递函数求取。
二阶微分环节的曲线形状与振荡环节的曲线以横轴为对称频率特性
对数幅频特性 Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
相频特性

ω

tg 1
2ζ Tω 1 T2ω2
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为+40dB/dec； 转折频率为：ω=ωn=1/T 相频由0°（对应ω=0），经 90°（ω=ωn=1/T ），
1 jω T
惯性环节的幅频特性与相频特性为
惯性环节的幅频特性： 当ω<<ω1时（低频段） 当ω>>ω1时（高频段）
在低频段对数幅频特性曲线是与横轴相重合的直线。 （近似）
在高频段对数幅频特性曲线是一条在ω=ω1经过横 轴，斜率为-20dB/dec的直线。（近似）
这两条直线称为渐近线。

ωn=1/T
相频特性曲线以ω=ωn=1/T点（拐点、-90°）呈斜 对称。
相频特性曲线以 ω=ωn=1/T点 （拐点、-90°） 呈斜对称。
谐振频率谐振峰值
振荡环节的幅频特性在转折频率 生谐振峰值
ω=ωn=1/T附近产
在ω=ωr处具有最大值。将ωr代入幅频特性中， 得谐振峰值Mr为 ，谐振时，G(jω)的相角为
◆相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以 用弧度)，均匀刻度。
对数幅相曲线(略)
◆对数幅相曲线又称尼科尔斯(Nichols)图。
将对数幅频特性和相频特性绘制对数幅相曲线(略)
四、频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学 模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无 关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完 全确定。
3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式） ⑴ 按顺序排列各环节
◆ 幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅
值和频率与相角的对应关系。
对数频率特性曲线
◆对数频率特性曲线又称伯德（Bode）图。
◆伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下 对应的两幅图中；
◆横轴为频率轴，对数刻度， ㏒ω，ω单位是弧 度；
◆幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，，单位是 分贝，均匀刻度；
例: 求如下传递函数的极坐标图
解：写出环节串联形式 其幅值与相角分别为：
由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调 减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺 旋线。
三、极坐标图的形状与系统的型号的关系 注意起始点（ω→0）
结论：
① 0 型系统（v=0）：极坐标图起始于正实 轴上的有限点，终止于原点。
（以上适用于最小相位系统）
例1：求如下传递函数的极坐标图。
例2：求如下传递函数的极坐标图。
例3：求如下传递函数的极坐标图。
例4：求如下传递函数的极坐标图。
由图可见，若传递函数有零点 （即有一阶微分环节），
则曲线会发生弯曲，相位可能非单调变化。
幅相频率特性其优点
可以在一张图上描绘出系统在整个频率域的 特性，为分析系统性能提供方便；
其对数幅频曲线和相频曲线关于横轴对称。
4．振荡环节与二阶微分环节
振荡环节：
Gjω
T2 jω2
1 2ζ
Tjω 1
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
ωn=1/T
幅频特性： 当ω<<ωn时（低频段） 当ω>>ωn时（高频段） L() 20 lg(2T 2 ) 40 lg(T )
特别是为研究系统在频域内的稳定判据提供 了基础。
幅相频率特性其缺点
无法由图形准确表示出系统由哪些环节组成， 以及各环节的作用。
4 . 3 对数频率特性（ Bode 图）
对数频率特性曲线横轴为频率轴，对数刻度，㏒ω，ω单 位是弧度；
幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴 单位是分贝，均匀刻度；
由于
= -90°是常数，
而
随ω增大而减小。
因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
极坐标相位从0°到 –180°变化，频率特性 与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率 ωn ，ξ越小，对应ω的幅值越大。说明频率 特性与ω、 ξ均有关。当ξ小到一定程度时， 将会出现峰值，这个值称为谐振峰值Mr，对 应频率称为谐振频率ωr。
相频特性的纵坐标为相移轴， 单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。
一、典型环节的Bode 图
1．比例环节 比例环节的频率特性为 G(jω)=K ，对应的幅频特
性和相频特性为
放大环节的对数幅频特性曲线是 一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线；
相频特性曲线是 一条和横轴重合的直线。
不随频率的改变而改变。
两条渐近线相交处的频率称为转折频率或交接频 率。转折频率为ω=ω1=1/T 。
惯性环节的相频特性：
当ω=0时，ω 0o ；
当ω=ω1=1/T转折频率时，ω -45o；
当ω→∞ 时 ω趋于 -90°
惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现， 而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。 因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。 幅值的最大误差发生在转折频率处，近似等于3dB。
一阶微分环节： Gjω 1 jω T
ω tg1ω T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围 由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）。
一阶微分环节的频率特性与惯性环节的频率特性互 为倒数关系，其对数幅频和相频特性仅差一负号。
2．绘制Bode图的基本步骤 ⑴ 系统的频率特性写成各典型环节的乘积形式（传递
函数为时间常数表达式）； ⑵ 画出每一个环节的对数幅频和相频曲线； ⑶ 然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 先按渐进线画图，需要时再修正。 3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式）
当ω=0 → ω=∞ 可以得到关于
和
的以ω为自变量的表达式或曲线
一、定义
线性定常系统(或环节)在不同频率得正弦输入信号 的作用下，稳态输出与输入的复数比叫做系统(或环 节)的频率特性，记为G( jω )。
输出信号与输入信号幅度的比值为幅频特性
输出信号的相角与输入信号相角的差值为相频特性
第四章 频率分析法
4．1 频率特性
当线性定常系统的输入信号是正弦信号时，则在 过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频 率的正弦信号，只是其幅值和相角发生改变。
幅值和相角的改变情况与信号频率有关，都是频 率的函数，即
输入 r(t) Ar sin t 输出 c(t) Ac () sin[ t ()]
即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
三、频率特性的图形表示方法
图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。 幅相频率特性曲线
◆幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、
乃奎斯特（Nyquist）图等。
◆横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率从零变到无
穷大时，点在复平面上留下频率曲线。曲线上的 箭头表示频率增大的方向。
注意终止点（ω→+∞）
结论； ⑴ ω→+∞，频率特性幅值→0
⑵传递函数中增加一个极点，将使曲线终点 （ω→+∞）相角多转-90° （顺时针）； ⑶传递函数中增加一个零点，使曲线的终点 （ω→+∞）相角多转90°（逆时针）。 或者：
终点（ω→+∞）相角是 -90°×传递函数分母分子
的阶次差。
K=1时，20lgK=0dB； K>1时，20lgK>0dB； K<1时，20lgK<0dB。
2．积分、微分环节 积分环节
对数幅频与相频特性为
当ω=1时
当ω=1时 当ω=10时
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB， 记为：－20dB/十倍频程， 或-20dB/dec。或直接写成-20。
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。 ζ越小, ωr越接近ωn, Mr将越大。 当>0.707时，不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。 当=0.707时，r=0，Mr=1。 <0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n，Mr∞。
二阶微分环节： Gjω 1 2ζ Tjω T2 jω2
2、频率特性是一种稳态响应。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频 率。