1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选(x －1)＝0，解得x ＝2，
∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C.
2x
( )
A.(－1,0) C ．(1,2) D ．(2,3)
解析：选C.设f (x )＝e x
－x －2，∵f (1)＝－3＝－＜0，f (2)＝－4＝＞0.∴f (1)f (2)＜
0，由根的存在性定理知，方程e x
－x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.
3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2
＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0
时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2
，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C.
4．已知函数f (x )＝x 2
－1，则函数f (x －1)的零点是________．
解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2
－2x ＝0.解得x 1
＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2.
答案：0和2
1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2
－ax 的零点是( )
A ．0,2
B ．0，－1
2
C ．0，12
D ．2，12
解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，
∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2
－ax ＝－ax (2x ＋1)，
使g (x )＝0，则x ＝0或－1
2.
2．若函数f (x )＝x 2
＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1.
3．函数f (x )＝ln x －2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(3,4)
D ．(e,3)
解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－2
3
＞0，
∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )
A ．y ＝x －1x
B ．y ＝2x 2
－x －1
C ．y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1 x ≤0x －1 x ＞0
D ．y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1
x ≥0x －1 x ＜0
解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－1
2
，1；
只有D 中函数无零点．
5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2
－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定
解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2
－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查
图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2
＋2的交点个数．
6．设函数y ＝x 3
与y ＝(12
)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选B.设f (x )＝x 3
－(12
)x －2，
则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(1
2
)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)
上．
7．函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ，
由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a
a
＝－2，
故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3
8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．
解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0a ＋1≥0或⎩
⎪⎨⎪⎧
5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1.
答案：a ≥1
5
或a ≤－1. X k b 1 . c o m
9．下列说法正确的有________：
①对于函数f (x )＝x 2
＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．
②函数f (x )＝2x －x 2
有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2
－2x |－a 有三个零点． 解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2
－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.
答案：③④
10．若方程x 2
－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．
解：设f (x )＝x 2
－2ax ＋a .
由题意知：f (0)·f (1)＜0，
即a (1－a )＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，1－a ＜0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＜0，
1－a ＞0，
∴a ＜0或a ＞1.
11．判断方程log 2x ＋x 2
＝0在区间[12
，1]内有没有实数根？为什么？
解：设f (x )＝log 2x ＋x 2
，
∵f (12)＝log 212＋(12)2＝－1＋14＝－3
4
＜0，
f (1)＝lo
g 21＋1＝1＞0，∴f (12)·f (1)＜0，函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间[1
2，1]
上是连续的，因此，f (x )在区间[12，1]内有零点，即方程log 2x ＋x 2
＝0在区间[12
，1]内有实
根．
12．已知关于x 的方程ax 2
－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时， (1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1a ＜0Δ＝12a ＋4＞0
，
解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2
－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，
所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0
Δ＞0
a ＋1
a ＞1f 1＞0
，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0
Δ＞0
a ＋1
a ＞1f 1＜0
，不等式组无解．
所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－1x 2－1＞0x 1－1＋x 2－1＞0 ⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1x 2－x 1＋x 2＋1＞0
x 1＋x 2＞2
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a －1a －2a ＋1
a
＋1＞02a ＋1
a
＞2
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＜0a ＞0，不等式组无解．
即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2
－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如
图(3)(4)所示，
所以必须满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＞0
f 1
＜0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0f 1
＞0
，解得a ＞0.
∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.。