第二章 干涉理论基础和干涉仪2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm ，其谱线宽度为104-nm ，光电接收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为l δ，则l δ由探测器接受灵敏度10λδ=N 所决定，N l δδ=2∴ m 032.02μδδ≈=Nl （32nm ）一次测长量程M l 由相干长度c l 所决定，c M l l =2∴ m l l c M221212≈∆==λλ2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色，解释为什么油膜较厚时彩色消失。

解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。

当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。

2.3计算下列光的相干长度(1)高压汞灯的绿线，546.15nm nm λλ=∆=(2)HeNe 激光器发出的光，6331nm MHz λν=∆=解答：计算相干长度（1） m 6.592μλλ≈∆=c L（2） 300m c cL ν=≈∆2.4在杨氏双缝实验中（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。

（2）若以直径为0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双缝必须与灯丝相距多远？设λ=550nm解答：（1） δcos 2220000I I I I I ⋅++= V ∴=（2）由(2-104)式 dbP λ=0 λdP b =∴ 182.0>b M2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p ，光源波长为5893A ，针孔P 1、P 2大小相同，相距为d ，Z 0=1m ， Z 1=1m（1）当两孔P 1、P 2相距d=2mm 时，计算光源的宽度由p =0增大到0.1mm 时观察屏上可见度变化范围。

（2）设p=0.2mm ，Z 0、Z 1不变，改变P 1P 2之间的孔距d ，当可见度第一次为0时 d=? （3）仍设p=0.2mm ，若d=3mm ， 01Z m =.求0∑面上z 轴附近的可见度函数。

图p2-5解答：（1）由(2-106)式 000sin sin 0.82pd Z pd V c pd Z Z πλπλλ⎛⎫ ⎪⎝⎭==≈（2）由(2-107)式 0 2.95Z d pλ=≈mm （3） 301076.419.319.3sin sin-⨯≈==Z pd Z pd V λπλπ2.6 有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位02010==δδ，偏振方向均垂直于xoy 平面，这两束光的入射方向与x 轴的夹角大小相等（如图p2-6所示），对称地斜射在记录面yoz 上，光波波长为633nm 。

(1) 作出yoz 平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。

(2) 当两束光的夹角 10和 30时，求yoz 平面上干涉条纹的间距和空间频率。

(3) 设置于yoz 平面上记录面感光物质的空间分辨率为2000条/mm ，若要记录干涉条纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角α最大不能超过多少度。

图p2-6-1解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距θλsin 2=d（1） 在yoz 平面上干涉条纹的大致形状如图p2-6-2所示。

图p2-6-2（2）两光束夹角0110α=时， 51=θ，110.633m 3.63m 2sin 2sin5d λμμθ==≈ ， 111276f d =≈条/mm两光束夹角0230α=时， 215θ=，220.633m 1.22m 2sin 2sin15d λμμθ==≈ ， 221820f d =≈条/mm（3） 由120002sin 2mm λα=和633nm λ=计算得到078.5α≈ 2.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与xz 平面平行，与z 轴夹角分别为θ、0、θ-。

光波波长为λ，振幅之比1:2:1::321=A A A 。

设它们的偏振方向均垂直于xz 平面，在原点o 处的初相位0302010===δδδ。

求在0=z 的平面上 (1) 合成振幅分布(2) 光强分布 (3) 条纹间距图p2-7解答：（1）三束光在xoy 平面上的复振幅分布分别为)sin exp(),(2),()sin exp(),(321θθjkx A y x Ay x jkx A y x -===U U U总的复振幅分布[])sin cos(12),(321θkx A y x +=++=U U U U（2）在xoy 平面上光强分布[]222)sin cos(14),(),(θkx A y x y x I +==U（3）条纹间距 θπsin 2k x =∆ 2.8 如图p2-8所示，S 为一单色点光源，P 1、P 2为大小相同的小孔，孔径间距为d ，透镜的半径为a ，焦距为f ，P 1、P 2关于z 轴对称。

（1）若在观察平面∑上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？（2）当观察屏∑的位置由Z=0开始增大时，求∑面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条纹总数与Z 的关系。

图p2-8-1解答：图p2-8-2由P 1P 2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与z 轴的夹角大小为θ，两束光重叠区域z 坐标的最大值为0Z 。

当观察屏∑由0=z 开始向右移动时屏上干涉区域的横向宽度为X ∆。

（1） 2/122)4(sin f d d +=θ条纹垂直于纸面，间距2/122)4(2sin 2f d dl +==∆λθλ（2）d af fd aa Z 22tg 0===θ增至0z Z ≥时条纹消失，由0012X Z z a Z ∆-= 当0<z <0Z 时，条纹的总宽度 002()2Z z a dX a z Z f-∆==-条纹总数 22221/222(2)4(4)2d a z X d af dz fN l f d fd f dλλ-∆-===∆++ 2.9 在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以 45角入射。

对于以下两种情况，求电能密度的时间平均值(1) 入射光的偏振方向垂直于入射面； (2) 入射光的偏振方向平行于入射面；(3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。

当图中乳胶膜与镜M 成α角时，求乳胶膜F 上条纹的间距。

图p2-9 维纳驻波实验解答：（1）入射光的偏振方向垂直于入射面时0)(//0=i E ，在入射角45=θ时由（2-41）式给出 0222exp 22sin 20)(0=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⊥z i y x E kx t j kz E E E πω所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿z 方向是周期变化的。

由（1-81）式，电能密度的时间平均值⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=⋅=⊥kz E n n i 22sin )Re(4)Re(4122)(020*20*εεωE E D E结果与坐标z 有关，与坐标x 、y 无关。

（2）入射光的偏振方向平行于入射面时，0)(0=⊥i E ，在入射角45=θ时，由（2-41）式给出⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫⎝⎛=kx t j kz E E E kx t j kz E E i z y i x 22exp 22cos 20222exp 22sin 2)(//0)(//0ωπω由（1-81）式电能密度的时间平均值2)(//020**20*20*2)(4)Re(4)Re(41i z z x x E n E E E E n n εεεω=+=⋅=⋅=E E D E经时间平均后电能密度与z 无关。

（3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时，ω与z 无关因而感光乳胶在曝光、显影后变黑是均匀的。

当入射光的偏振方向垂直于入射面时，ω与z 有关，与x 、y 无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。

干涉条纹的间距 λθλ22sin 2==d考虑到乳胶膜与镜M 成α角，在乳胶膜上得到的条纹的间距αλαsin 22sin ==d D2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为1λ和2λ的光，光强均为I 0，双孔距离为d ，孔所在的屏与观察屏的距离为D ，求： （1）观察屏上条纹的可见度函数。

（2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。

（3）设1λ=5890A ，2λ=5896A ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。

解答：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x D d I x I 1012cos 12)(λπ ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x D d I x I 2022cos 12)(λπ ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=+=x D d k x D d k I x I x I x I cos cos 14)()()(021其中 112λπ=k ， 222λπ=k图p2.10212k k k +≈以及21k k k -=∆，)(x I 表达式中有一个函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x D d k x D d k cos cos ，它是周期函数⎪⎭⎫ ⎝⎛D kdx cos 被一个⎪⎭⎫⎝⎛∆x Dkdcos 的振幅包络所调制的结果(见图P2-10)， 条纹的可见度 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=x D d k x V cos )(（2）可见度变化周期 d Dk D d k l T ∆=∆=ππ条纹间距为 d Dk Dd k l ππ22==∆ 在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为N ，则有λλππ∆=∆=∆=∆=222)(k k kdD kd Dlx l N T 式中 12λλλ-= （N2λλ=∆）（3）由2π=∆x D d k，得 23.482≅∆=kd Dx πmm （可见度函数第一次为0）由2π=x D d k，得 492Dx m dkπμ=≅ （条纹第一次消失）2.11 光源的光谱分布规律如图p2-11所示，图中以波数k 作为横轴，波数的中心值为0k 在光谱宽度k ∆范围内F(k )不变，将从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 相遇时的偏振方向相同，光程差为S ∆，试求：（1）两光束干涉后所得光强的表达式I(S ∆) （2）干涉条纹的对比度V()S ∆（3）对比度V 的第一个零点所对应的S ∆=？图p2-11解答：两束光的每一束在dk 范围内光的强度为kdkI I I ∆==2021 ， S k ∆=δ （1） )cos 1(22cos 2)(02121S k kdkI I I I I x dI ∆+∆=++=δ∴ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+=∆+∆=⎰∆+∆-S k S k S k I S k k dk I x I k k k k 00220cos 22sin 1)cos 1()(00 （2）可见度 0k k <<∆ sin 2()2k S V k S ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭∴∆=∆∆（3）第一个零点处0)2sin(=∆∆k ，由这一关系式得到λλ∆=∆2||S2.12 如图p2-12所示，一辐射波长范围为λ∆、中心波长为λ的准单色点光源S 置于z 轴上，与透镜L a 相距a f （a f 为L a 的焦距）在与z 轴相垂直的屏∑0上有两个长狭缝S 1、S 2，它们垂直于纸面对称放置，透镜L b 紧靠在∑0在L b 的后焦∑面上观察干涉条纹，当X 由0增大时求条纹第一个零点所对应的X 值。