三脚架的数学原理
四川省南部中学蒲筱平
三脚架是主要由三条杆材连接而成的支撐结构。
作为承重工具，更重要的是作为在空间中固定物体位置的固定工具，三脚架在生产和生活的各个领域都有广泛的应用。
关于三脚架的数学原理，我看到已有两种解释。
一种解释说其原理是利用三角形的稳定性，使架于其上的物品获得一个稳定的支撑，而不易翻倒。
另一种解释说其原理是利用经过不在同一条直线上的三个点, 有且只有一个平而。
也称为不在同一条直线上的三个点确定一个平而。
此说法我设想其典型化的解释：把3个球放在地面上，使它们不在同一条直线上（3个球视为不在同一条直线上的三个点），放一块平板
（视为平而）在这3个球上（即经过这三个点有一个平而），这3个
球能支撑住平板（即经过这三个点只有一个平面）一一虽然如此，但并不唯一地确定被支撐物的位置。
以上两种解释分别用初中数学的平面几何中三角形的稳定性，高中数学的立体几何中关于平而的公理解释三脚架的原理。
看似有理，其实是不相关的：三脚架的原理其实是用3条线段（即三脚）及3个点（即脚的着地点）确定一个点（被支撐物）的位置，而不是用3条线段的长度确定三角形的形状和大小（三角形的稳定性），也不是用3个点确定一个平而。
从数学的角度说，三脚架的原理（不妨称为三脚架定理）是：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球个球而
④两个球面：设两球而a, a的半径分别为T, r,两球心的距2211离为d。
当d> r+r时,称球面a , a夕卜离;当d= r+r时，称球面a , 1122211
a ?<d <r?时称-r=? r a相交？;当r-r；当0<d , +T时称球面a外切2122122H?时称球面a ?-r r<?, a内切；当0=d=?r-r重合；当d球面a , a 21212121时称球而a , a内含；当d=0时称球面a , a同心O 2121
⑤圆与球面：
,平面a与球面B的位置有且只有3种：设圆&所在的平面为a切点与圆&的位置有与球而0相切时，相离，相交，相切；平面a且只有3种：切点在圆外，切点在圆上，切点在圆内：平面a与球面B相交时，公共部分组成一个圆（不妨称为交圆），圆&与交圆的位置按照初中数学中的方法分外离，外切，相交（此时可称圆&与球面B相交），内切，内含（包括同心），重合（此时可称圆&在球面B上或称球面0经过圆&）等6种。
这样可以一一对应地确定出圆与球面的10种位置关系。
二、定理
定理1、两球面a, a :外离时，公共点数为0；外切时，公共21点
（可称外切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；相交时，有无数个公共点，所有公共组成一个圆，过两球面a, a的球心的21 直线经过该圆的圆心并且垂直于该圆所在的平面；内切时，公共点（可称内切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；重合时，所有公共组成一个球面，此时3个球而重合；内含时，公共点数为0。
那么圆与球而相交，如果圆与球而有且只有两个公共点，、2定理. 当球心在圆确定的平而上时，这两个公共点关于圆心与球心确定的直线对称；当球心不在圆
确定的平而上时，这两个公共点连线段的中点、圆心、球心不在同一条直线上，它们确定一个平面（记为平面「），这两个公共点关于平而r 成镜而对称。
定理3、如果圆与球面有3个公共点，那么它们有无数个公共点，所有公共点组成的图形就是该圆。
定理4、球心不在同一条直线上的3个球面的公共点的数量只能为0 或1或2；当只有一个公共点时，该公共点与3个球而的球心在同一个平而内；当有两个公共点时，这两个公共点位于3个球面的球心确定的平而之外，分居该平而的两侧，且关于该平面成镜面对称.
由定理4立即可得
定理5 （三脚架定理）：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球而的公共点，在3个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。
三、三脚架定理的解释
三脚架使用其3脚（线段）与3个落脚点（不在同一条直线上）来固定3脚的交汇点（下面简称交汇点）。
实质是用不在同一条直线上的3个点和3条线段，在3个点确定的平面的一侧决定一个点的位置。
三脚架一脚的长度及其落脚点都确定时，交汇点到该落脚点（定点）的距离等于相应的脚的长度（定长），因此交汇点在以落脚点为即交汇对三脚架的每一脚都如此，球心以脚的长度为半径的球面上；
点是分别以3个落脚点为球心，相应的脚的长度为半径的3个球而的公共点。
三脚架工作时任何两脚都不在同一条直线上，它们的落脚点与交
汇点形成一个三角形，根据三角形三边长度的不等关系，两落脚点（球心）之间的距离大于两脚长度（半径）之差，且小于两脚长度
（半径）之和，因此两球而相交。
于是，该3个球而是两两相交的, 即三脚架的的交汇点是球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点。
由三脚架定理知，当3个落脚点不在同一条直线上时, 在它们确定的平而的一侧一一通常取平面的上方（这是由万有引力确定的），上述3个球面的公共点必定是唯一固定的，即交汇点的位置是被唯一固定的。
因此，当三脚架3脚的长度与3个落脚点（不在同一条直线上）固定时，三脚架上被支撐物的位置就固定不变了。
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