当它们有相同的成员。
两个集合A和B相等，记作A=B，两个集合 不相等，记作AB。 {0，1}={x|x(x2-2x+1)=0，x I} {0，1}{1，2}
➢2.包含关系（子集） ➢定义3-1.1 设A、B是任意两个集合，如果A的每一 个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的子集合（ 或子集，subsets），或称A包含在B内，记为AB ； 或称B包含A，记为BA 。 ➢即
所以|A1|+|A2|=|A1～A2|+|A1A2|+
|～A1A2|+|A1A2|
=|A1～A2|+|～A1A2|+2|A1A2|
而|A1～A2|+|～A1A2|+|A1A2|=|A1A2|
故|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|
例1：求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。
3、差集、补集
定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属 于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A 的补集，或相对补，(或A和B差集)记作A-B 。
A-B={x|xA∧xB} 文氏图
定义3-2.4：设E为全集，任一集合A关于E的补 ，称为A的绝对补，记作A。 A=E-A={x|xE∧xA}
文氏图
属于S，同样根据定义，S就 可以属说于，S这。一无悖论论如就何象都在平是静矛的盾的 数学。水面上投下了一块巨石，而
它所引起的巨大反响则导致了第 三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的
解决方案：
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过 对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新 的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合 论中一切有价值的内容得以保存下来。”
中成员的特征。如：B={2，4，8，……} 若x=2n，则
B={2，4，8，16，32，……} 若x=2+n(n-1)，则
B={2，4，8，14，22，……} 2、描述法：A={x|P(x)}或A={x：P(x)} 例： C={x|1x5，x R}，
D={(x，y)|x2+y21，x，y R} F={x|x是中国的一个省}
则
a)BA b)(B-A)A=B
4、对称差 定义3-2.5：设A、B是任意两个集合，集合A和
B的对称差，其元素或属于A，或属于B，但 不能既属于A又属于B，记作AB。
AB=(A-B)(B-A) 文氏图
性质： a)AB=BA b)A=A c)AA= d)AB=(AB)(AB) e)(AB)C=A(BC)
1908年，策梅罗在这一原则基础上提出第一个公理 化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托 尔朴素集合论的缺陷。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的 悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
集合论
第3章 集合和关系 第4章 函数
第三章 集合与关系
因为有AB，若x A，则x B， 所以x B且x C，故x BC。 因此ACBC。
2、并集 定义3-2.2：设任意两个集合A和B，所有属于A
或属于B的元素组成的集合，称为A和B的并 集，记作A B。
A B={x|x A x B} 文氏图
举例
例1：A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， AB={1，2，3，4，5}
推论：空集是唯一的。
证明：设1，2是两个空集，则1 2，
，得
，所以空集是唯一的。
2、全集 定义3-1.4：在一定范围内，如果所有集合均是
某一集合的子集，则称该集合为全集。记作E 。
E={x|p(x) p(x)} 3、幂集 定义3-1.5：给定集合A，由A的所有子集为元
素组成的集合称为A的幂集，记作 (A)或2A 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
“一切数学成果可建立在集合论基础上” 这一发现使数学家们为之陶醉。
1900年，国际数学家大会上，法国著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣 称：“………借助集合论概念，我们 可以建造整个数学大厦……今天， 我了们…可…以”可 19说是03绝，年对好，的景一严不个格长震性。惊已数经学达界到的 消息传出：集合论是有漏洞 的！这就是英国数学家罗素 提出的著名的罗素悖论。
例2：设A是奇数集合，B是偶数集合，AB是 整数集合，AB=。
性质：
a)AA=A b)AE=E c)A=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)AAB，BAB
举例
例题3：设AB，CD，求证ACBD。
证明：对任一x AC，则x A或x C， （1）若x A，则x B，故x B D ； （2）若x C，则x D，故x BD。
3-3 包含排斥原理 (容斥原理)
包含排斥原理
1、定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别 为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被称 作包含排斥原理。
证明：a)当A1A2= ，则|A1A2|=|A1|+|A2|
b)若A1A2 ，则|A1|=|A1～A2|+|A1A2|，|A2|=|～ A1A2|+|A1A2|
如果a不是A的元素，记为： aA ，读作“a不属于A ”。
集合的分类
•空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（ finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。
•有限集合中元素的个数称为集合的基数（cardinality ）。集合A的基数表示为 A。
二、集合的三种表示方式：
3-2 集合的运算及其性质
一、集合的运算
1、交 定义3-2.1：设任意两个集合A和B，由A和B的
所有共同元素组成的集合，称为A和B的交集 ，记为A B。
A B={x|xA xB}
文氏图
举例
例1：A={0，2，4，6，8，10，12}，B={1，2 ，3，4，5，6}，AB={2，4，6}
例2：设A是平面上所有矩形的集合，B是平面 上所有菱形的集合，AB是所有正方形的集 合。
定理3-2.2 设A，B为任意两个集合，则 下列吸收律成立。
a)A(AB)=A
b)A(AB)=A
证明：
a)A(AB)=(AE)(AB)
=A(EB)=AE=A
b)A(AB)=(AA)(AB)
=A(AB)=A
定理3-2.3 AB，当且仅当AB=B或 AB=A。
证明：若AB，对任意xA必有x B， （1）对任意x AB，则x A或x B，即x B， 所以AB B。 （2）又B AB ，因此得到AB=B 。 反之，若AB=B，因为A AB ，所以A B 。 同理可证得AB=A
AB x(xAxB)
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
➢ 注：可能AB或BA ，也可能两者均不成立， 不是两者必居其一。
例：A={1，2，3}，B={1，2}，C={1，3}， D={3}，F={1，4}，
理发师悖论（罗素悖论）
20世纪英国著名哲学家、数学 家罗素提出一个著名的悖论 ——“理发师难题”，其内容如 下：
西班牙的塞维利亚有一个理发 师，这位理发师有一条极为 特殊的规定：他只给那些“不 给自己刮胡子”的人刮胡子。
罗素悖论
G的 到罗.弗信的切成素雷后最不。构格伤不在是心合造收地心自了到说意身一罗：的元个素事“一素集介莫个的合绍过科集这于S学：一是合家S悖在所所由论他遇组一 的罗工素作问即将：结S是束时否，属其于基S础呢崩？溃了 。如罗果素S先属生于的S一，封根信正据好S的把我定置义于，S 这个就境不地属。”于S；反之，如果S不
则BA， CA， DC， FA
四、特殊的集合
1、空集
定义3-1.3：不含任何元素的集合称为空集，记作 。
={x|p(x) p(x)} 例如：X={x|x2+1=0，x R}是空集。 注意： {}， {}
定理3-1.2：对于任意一个集合A， A。
证明：反证法，假设存在一个集合A，使得 A为 假。则存在x 且x A，这与空集的定义矛盾， 所以 A，空集是任意集合的子集。
（l）列举法 将集合的元素列举出来。
（2）描述法 利用一项规则（一个谓词公式），描述集合 中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否 属于该集合。
（3）归纳法 用递归方法定义集合。
1、列举法：将集合的元素列举出来 例：A={a，b，c，d}，A1={1，3，5，7，9
，……} 使用列举法，须列出足够多的元素以反映集合
一、集合的基本概念
集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的 对象的总体。
组成集合的对象称为集合的成员（member）或元素 （element）。
一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。 例如A表示一个集合，a表示元素，如果a是A的元素， 记为：aA，读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A 的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。
(A)={u|u A} 例：设A={1，2，3}，写出A的幂集 (A)。 解： (A)={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
一般地如果|A|=n，则： A的0元子集有Cn0=1个，即空集， 1元子集有Cn1个， 2元子集有Cn2个， …， n-1元子集有Cnn-1个， n元子集有Cnn个。 所以A的子集个数为：
例3：设A是所有能被K整除的整数的集合，B是 所有能被L整除的整数的集合，AB是所有能 被K与L最小公倍数整除的整数的集合。
性质：
a)AA=A b)A= c)AE=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)ABA，ABB
举例
例题4：设AB，求证ACBC。 证明：对任一个x AC，则x A且x C，