一、换面法的基本概念
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
a

作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1

V X H
ax
a2
a ax1 H X1 V1
.
ax2 . a1 H2 V1 X 2
直线的换面
一次换面
1．把一般位置直线变换为新投影面平行线
反映直线的实长和对投影面的倾角
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
第五章
投影变换
基本要求
1、掌握换面法的基本原理和换面法的作图的 投影变化规律。 2、掌握用换面法求线段的实长、平面图形实形及 其对投影面的倾角基本作图方法。 3、掌握换面法解决一般空间几何要素的定位 和度量问题。
2.5 投影变换
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其投影面的倾角。 当直线或平面处于一般位置时，则它们的投影不具 备上述的特征。投影变换就是将直线或平面从一般位置 变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们 的度量和定位问题。
2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换
2．点的投影变换规律
3．点的两次变换
1 点的一次换面
换V面
V

a ax
.a x1 a1
a

A

a 1

V1
X
V H

ax
X


ax1
H
a
X1

H
V1 X1
a
V 旧投影体系 X— H A点的两个投影：a,a
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 例题2 例题3
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 例题4 例题5
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1

a1
b1

a1
[例题1]
2.6 点、线、面综合问题的解题示例
1、分析题意:弄清已知条件和所求结果。 2、确定解题的方法和步骤：以所学理论知识为基础
确定解题方法和步骤。
3、投影作图：投影作图，做出结果。
本章结束
变换投影面法 旋转法
§6-2 换面法
换面法就是保持空间几何要素不动，用新的投影面 替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何要素处于有 利于解题的位置。
一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则
三、点的投影变换规律
四、六个基本问题
（1）新投影面必须处于有利于解题的位置。 （2）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面， 组成一个新的两投影面体系。
（2）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，可以 求出线段的实长。
（3）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，需要 进行两次转换。
（4）将投影面的倾斜面旋转成投影面的垂直面，可以 求出平面对投影面的夹角。
（5）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，可以 求出平面的实形。
（6）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，需要 进行两次转换。
V1 新投影体系 X1— H A点的两个投影：a,a1
新旧投影之间的关系
V

a ax
.
a

A

a 1
V1
X V
a1
H
ax1
H V1 X1
ax
X


ax1
H
X1
a

a
一般规律：
1) aa1 X1 2) a1ax1=aax
1) 点的新投影和与它有关的原投影的连线， 必垂直于新投影轴。 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替 的投影到原投影轴的距离。
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
2.5.3 旋转法
1.绕投影面垂直轴旋转的基本规律
1) 点的旋转规律
当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在 轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投 影面上的投影为平行于投影轴的直线。
2) 直线的旋转规律
（1）三同旋转规律：同一旋转轴、同一方向、同一角度。
k1
s1 距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d e
N
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
X1
作图过程
c1 b1 a1
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2 实形
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
（2）旋转时的不变性：它在轴所垂直的投影面上的投影 长度不变，因此线段与该投影面的倾角不变。
3) 平面的旋转规律
作图时，可根据旋转前后的不变性，首先做出其不变的投 影，在根据点绕投影面垂直轴的旋转规律作出另一投影。
2.旋转法中的六个基本问题
（1）将投影面的倾斜线旋转成投影面的平行线，可以 求出线段的实长和对投影面的夹角。
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a1

b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1 b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 V1 a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
[例题2]
求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1
c1 k1 b1 k'
2
点的二次换面
X2

⑴ 新投影体系的建立
V
H2
a2

ax2


按次序更换
V1
a
ax
X

A



a1
a
H

ax1 X1
V X1 —1 H V1 — H 2
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系:
X2
⑵ 求新投影的作图方法
换H面
X1H 1 V
.
a1
ax1
a
O1
XV H
ax

a
求新投影的作图方法 更换V面 更换H面
a

X1H 1 V
.
a1
ax1
V X H
ax
ax1
.
●
a1
XV H
a
ax

H
V1
X1
a
a
作图规律：由点的不变投影向新投影轴 作垂线，并在垂线上量取一段距离，使 这段距离等于被代替的投影到原投影轴 的距离。
b'2 k'2
a'2 c'2
距离
k
[例题3]
1
求两直线AB与CD的公垂线 。
b
2
1 2 22 d2 c'1 2'1 1'1 d'1 c2
12 a 2b2
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb
d
b1
a
c b d c
D
V X d1H1 H a1 a c1
d
c
[例题4]
求点S到平面ABC的距离