且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
C
A
M
B
└
O
D
精品课件
9
典例精析
例2 已知：如图，在
以O为圆心的两个同心圆
O.
中，大圆的弦AB交小圆
于C，D两点。
A C ED B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
精品课件
10
思考：
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
E
B
.O
连结OA。则OE＝3 ∵AB＝8，
∴AE＝BE＝4
在RtAOE中，根据勾股定理得
OA A2 E O2 E3 2 4 2 5
∴⊙O的半径为5厘米。
精品课件
8
变式训练
如图，在⊙O中，CD是直径，
AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，
CM = 4，求AB。
①直径过圆心 ②垂直于弦
题设
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
精品课件 结论
13
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
17
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
B
D
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
精品课件
16
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个量中的已知任何两个量都可推 出其他三个量。
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B
圆中一个重
CD⊥AB,
要的结论,三
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
种语言要相
互转化,形成 整体,才能运 用自如.
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6
看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
zxxkw
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E
E
E
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7
典例精析
例1 如图，已知在⊙O中，弦
AB的长为8厘米，圆心O到AB的 A 距离为3厘米，求⊙O的半径。
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合,A⌒C和B⌒C重合, A⌒D和B⌒D重合.
∴AM=BM,
A⌒C = B⌒C,
∴A⌒C
⌒
=BC,
⌒⌒
AD =BD精品. 课件
⌒⌒
AD = BD. 5
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
D
• 老师提示:
如图∵ CD是直径, • 垂径定理是
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
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垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
精品课件
20
推论1的其他命题......
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
精品课件
14
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
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O
D
B N
15
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
鲁教版数学教材九年级下册 第五章 圆
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5.3垂径定理
精品课件
1
复习提问：
圆是轴对称图形，经过圆
心的每一条直线都是它们
的对称轴
.
精品课件
2
看一看，猜一猜
C
C
.O
.O
A E
A
E
B
B
D
D
直径CD分弦AB所成的两条线段有什么变化？
AE≠BE
精品课件 AE＝BE
3
做一做 • 如图：AB是⊙O的一条弦.
N
∴MN⊥CD。 ∴ A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直于弦的直径，平分弦所对的两条弧）
A⌒M－C⌒M
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
精品课件
12
垂径定理 C
O
E
A
B
排列CD这组是五合直，条径会进，出行AB是弦， D 现多CD少⊥个A命B题？
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
• 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
结论： 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
精品课件
11
思考1讲解
1.两条弦在圆心的同侧

C A
已知：⊙O中，弦AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
证明：作直径MN⊥AB。
M
D B
.O
∵AB∥CD，
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
（5） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦
所对的另一条弧. （ √ ） 精品课件
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垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒