Black's Model
• 尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形， 即Black’s Model, 也还经常被使用，其条 件是:
– a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 – b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数 正态分布。
• 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期 时，就可以利用Black’s Model
• 前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时， 我们需要将注意力转移到利率的演化上来。 • 假设6个月期和1年期的即期利率分别为3.99%和 4.16%。另外，6个月后6个月的即期利率可能演 变成4%与4.5%，图示如下：
利率二叉树与无套利定价
• 根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个 月期利率的树状图，我们可以计算6个月期 与1年期零息债券的价格。面值1000美元的 6个月零息债券，其价格树状图为：
• 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 年，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和 9个月后得到)? • 已知
– 今天债券价格 $960 (包括应计利息) – 执行价格 $1,000 – 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础， 连续利率) – 债券价格的波动率为年9%
期权定价模型 ——Black-Scholes model
• Black－Scholes(1973)
c SN(d1 ) KerT N (d2 )
ln( S / K ) ( r 2 / 2)T d1 T
d 2 d1 T
• 其中，c为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，K 为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，r为无风险 利率， 为股价变动的标准差。
B-S公式的比较静态分析
因素 标的证券的价格 执行价格 到期时间 利率波动率 短期利率 利息支付 Call 的价格 上升 下降 上升 上升 上升 下降 Put 的价格 下降 上升 上升 上升 下降 上升
例：Black-Scholes 模型的问题
• 给欧式 call option 定价：3年零息债券， 行权价为$110, 面值为$100。 • 结论很明显，应该是0。 • 但在下面假设情况下，r = 10% ，4%的年 价格波动率，用Black-Scholes 模型计算 出来的价格为7.78!
• • • • • • • • T = 期权到期日 F = 到期日为T，价值为V的远期价格 K = 执行价格 r = T期的即期收益率 (连续利率) σ = F的波动率 N = 累积正态分布 Pc = value of call Pp = value of put
例: 应用 Black's Model
980.4402=1000/(1+0.0399/2)
利率二叉树与无套利定价
• 面值1000美元的1年期零息债券，其价格树状图 为：
959.6628=1000/(1+0.0416/2)^2
977.9951=1000/(1+0.045/2)^2 959.6628=1000/(1+0.04/2)^2
• 注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的。
例: 应用 Black's Model
• 求解 • 第一步: 找到远期价格
P0 960 50 e 0.09(.25) 50 e 0.09 (.75) F e 0.10(.8333) F 939.86
• 计算期权价格的参数为:F = 939.68, K=1000, r=0.1, σ=0.09, T = 10/12=.8333.
含权债券定价的定价策略
• 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 Call Option 的价值 • 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 • 回购债券定价策略: – 利用利率模型给不可回购债券定价 – 利用利率模型给嵌入的call option定价.
利率二叉树（binomial interest rate tree）
Black’s Model的缺陷
• 尽管Black’s Model通过假定某个利率，或债券 价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为 对数正态，从而在某种程度上改进了BlackScholes Model的缺陷，这也使得这一模型能够 被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样 的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。 • 这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描 述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构 性债券产品定价时就不再适用了。 • 因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利 率上来。
利率二叉树与无套利定价
利用Black’s Model给欧式期权定价
FN (d1 ) KN (d 2 ) Pp e rT KN (d 2 ) FN (d1 )
T / 2 d1 T
d 2 d1
T
利用Black‘s Model给欧式期权定价
应用传统 Black-Scholes Model 给债券定价的问题
• 如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假 设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常 的复杂，原因如下： • 债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随 机演变过程不需要这一限制。 • 随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降， B-S公式假定波动率为常数显然不合适。 • B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证 券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显 矛盾。 • 此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。
例: 应用 Black's Model
ln(939.68 / 1000 ) 0.092 0.8333/ 2 d1 0.09 0.8333
d2 d1 0.09 0.8333
Pc e 0.10.8333 939.68N (d1 ) 1000N (d 2 ) 9.49