《结构拓扑优化与材料设计》 试卷参考答案一．基本概念（30分）1．按照设计变量层次不同，结构优化可分为哪三类，并说明拓扑优化的优势以及原因。

（8分）答：按照设计变量层次的不同，结构优化可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化三类。

相比尺寸优化和形状优化，拓扑优化节省材料更显著，有更大的经济效益，往往得到新的设计，也容易被工程师接受。

原因在于拓扑优化可以更好地改善结构的性能，或者在保持原结构性能不变的情况下更多地减轻结构质量，为设计者提供了一个概念设计，而且拓扑优化能够在调节结构构型设计的同时实现结构尺寸和形状的设计。

2．写出连续体动力基频最大化问题的拓扑优化模型列式。

（7分） 答：22**01max {min{}}..:,(1,...,),,(,,1,...,),0,(),01,(1,,).Ej jej j j j k jk N e e e e E s tωj J j k k j J V V V V e N ρωδραρρ====≥=-≤=<≤≤=∑T K φM φφM φL3．均匀化方法可用于预测复合材料的等效宏观性能。

说明均匀化方法适用的复合材料微结构分布的特点以及微结构尺寸与宏观尺寸的关系（在什么条件下，材料的宏观等效性能可以通过均匀化方法获得？）。

并总结均匀化方法预测复合材料等效宏观性能的主要步骤。

（10分）答：均匀化方法适用的复合材料，其微结构呈周期性分布，且微结构尺寸要远小于整个结构的尺寸。

主要步骤：①将位移表示成双尺度坐标的函数0122()(,)(,)(,)u x u x y u x y u x y εεε=+++L②将一阶近似位移用广义位移表示(0)(1)()(,)()m mn kknu x u x y y x χ∂=-∂③求解如下定义在单胞域内的微观均与化问题，获得广义位移函数0()V kl m iijkl ijmnY Yn j v E E dy v y y y χ⎛⎫∂∂-=∀∈ ⎪∂∂⎝⎭⎰④根据广义位移函数获得等效弹性常数1kl mijklijkl ijmn Y n EE E dy Yy χH⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎰ ⑤求解如下宏观均与化问题，获得宏观位移场(0)()0, ()V k iijkli i i i l ju x v Edx f v dx t v d v x x x εεHΩΩΩΓ∂∂--Γ=∀∈∂∂⎰⎰⎰⑥求解考虑微结构细节的近似位移场0122()(,)(,)(,)u x u x y u x y u x y εεε=+++L⑦求解考虑微结构细节的应力分布(0)(0)klm k ijijkl ijmn n l u E E y x χσ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭ 4．运用拓扑优化方法设计具有微结构特征的材料，常见的目标函数有哪些，约束函数有哪些，设计变量是什么？（5分）答：常见的目标函数：柔度、质量、频率（如基频）、散热性能（如散热弱度）等；常见的约束函数：体积、应力、位移等；常见的设计变量：材料密度、微结构的尺寸和形状参数等。

二．（20分）以SIMP 方法为例，写出在给定材料用量的条件下图示悬臂梁式结构最大刚度（最小柔顺性）设计的拓扑优化问题的数学模型。

简要说明该问题的求解过程。

答：数学模型：()()()()0min min ()s.t.: (,)(), ,;01.u E pijkl ijkl l u a u v l v v UE x x E x d V x ρρρρ∈*Ω=∀∈=Ω≤<≤≤⎰U,ρ其中，00() (,)()()()Tijklij kl l u fud tud a u v Ex u v d εεΩΓΩ=Ω+Γ=Ω⎰⎰⎰Ñ求解过程：该问题一般采用有限元方法，其有限元列式如下10min min ()s.t.: ,(), 01, .T NT e e e p e e v V E E φρρρρ*===≤=<≤≤=∑ρρF Uv ρρKU F有限元方法基本步骤： 1.前处理：①定义基结构和边界条件：结构为悬臂梁，左端固支，及作用在右上角点的载荷P ； ②定义可设计域和非可设计域：结构全域均为可设计域； ③划分网格，确定单元编号； ④在网格上定义相应的设计变量。

2.优化过程①赋初值，单元密度均为体积分数；②用有限元法基于平衡方程KU=F 求出位移，然后根据几何方程求出应变； ③计算柔顺性，基于最优必要条件，判断停止迭代；④按不动点格式更新设计变量，由二分法寻找体积约束是紧约束的拉氏乘子； ⑤重复迭代，直到满足停止迭代条件。

3.后处理将最优材料分布的优化结果解释还原为CAD 能识别的图形结果。

三．（20分）写出均匀化方法确定等效弹性性质和位移的基本方程（细观均匀化问题、宏观均匀化问题等），并说明各均匀化化问题的定义域。

答：1.确定等效弹性性质的基本方程，即微观均匀化问题：0()V kl m iijkl ijmnY Yn j v E E dy v y y y χ⎛⎫∂∂-=∀∈ ⎪∂∂⎝⎭⎰由上式确定klm χ，代入下式即得等效弹性性质常数1kl mijklijkl ijmn Y n EE E dy Yy χH⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎰ 微观均匀化问题的定义域在单胞域内（微观坐标尺度下），即V Y . 2.确定位移的基本方程，即宏观均匀化问题：(0)()0, ()V k iijkli i i i l ju x v Edx f v dx t v d v x x x εεHΩΩΩΓ∂∂--Γ=∀∈∂∂⎰⎰⎰由上式可确定(0)()k u x .宏观均匀化问题的定义域在全域（宏观尺度坐标下），即V Ω.若位移考虑微观结构细节，只需将(0)()k u x 和klm χ代入如下一阶近似(0)(0)(1)(0)()()(,)(,)()()m mn i i i iinu x u x u x y u x y u x y x εεεχ∂=+=-∂四．（15分）写出三维连续体单胞最大化等效剪切模量设计问题的数学模型。

答：数学模型：()()()()0min findmin ()s.t.: (,)(), ,;01.xy yz zx E pijkl ijkl G G G a u v l v v UE x x E x d V x ρρρρ*Ω-++=∀∈=Ω≤<≤≤⎰五．（15分）图示方形结构，作用四个载荷，材料弹性模量E=1，泊松比0.3ν=，采用线性加权方法，修改99行matlab 程序，给出四个载荷作为四种单独工况，结构多工况拓扑优化的图形结果，各工况加权系数均取0.25。

并写出对99行程序的修改。

（仅写出在原程序多少行添加哪些代码语句）答：调用语句均为：top(40,40,0.5,3.0,1.5) 单独工况： 工况1：79 F(nely+1,1) = 1;80 fixeddofs = [2*nely+1,2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1)-1,2*(nelx+1)*(nely+1)]; 工况2：79 F(2,1) = -1;80 fixeddofs = [2*nely+1,2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1)-1,2*(nelx+1)*(nely+1)]; 工况3：79 F(2*(nely+1)*nelx+2,1) = 1;80 fixeddofs = [2*nely+1,2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1)-1,2*(nelx+1)*(nely+1)]; 工况4：79 F(2*(nely+1)*nelx+1,1) = -1;80 fixeddofs = [2*nely+1,2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1)-1,2*(nelx+1)*(nely+1)]; 多工况：19b dc(ely,elx) = 0.; 19c for i = 1:420 Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],i); 21 c= c + 0.25*x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;22 dc(ely,elx) = dc(ely,elx) - 0.25*penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; 22b end69 F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),4); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),4);F=179 F(nely+1,1) = 1;F(2,2) = -1;F(2*(nely+1)*nelx+2,3) = 1;F(2*(nely+1)*nelx+1,4) = -1;80 fixeddofs = [2*nely+1,2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1)-1,2*(nelx+1)*(nely+1)];工况1 工况2工况3 工况4多工况。