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考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6【解题指南】利用1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.【解析】选C.由已知得，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .2.（2013·安徽高考文科·Ｔ7）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a =-，则a 9=（ ）A.-6B.-4C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前n 项和公式及通项公式求出首项及公差。

【解析】选A 。

由83117187=484(2),2622S a a d a d a a d 由´?=?=-?=-，联立解得1102a d ==-，，所以91810166a a d =+=-=-。

3. （2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列 【解析】选D. 递由1(1)n n n a na ++-11(1)()[(1)]n a nd n a n d =++-+-12a nd =+，仅由0d >是无法判断 12a nd +的正负的，因而不能判定 1(1),n n n a na ++的大小关系递显然，当n a n =时，1,n a n =数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，不是递增数列，是数列的第1n +项减去数列的第1[3(1)](3)n n a n d a nd +++-+1()[3(1)n n a a n +=-++二、填空题4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解.【解析】因为2、a 、b 、c 、9成等差数列，所以公差47429=-=d ,272==-d a c . 【答案】725．（2013·上海高考文科·T2）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a 【答案】 156. （2013·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___ 【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.【解析】设公差为d ，则3812910a a a d +=+=，571134182(29)20a a a d a d +=+=+=. 【答案】20.7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则n S n 的最小值为 .【解题指南】求得S n 的表达式,然后表示出nS n ,将其看作关于n 的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:111091002151415252d a d a ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得d=23,a 1=-3,所以()212103,233n n n n nS n --=-+⨯= 即nS n =3210,3n n -,令f(n)= 3210,3n n -,则有()220,3n f n n '=-令f'(n)>0,得203n >,令f'(n)<0,得200,3n <<又因为n 为正整数,所以当n=7时, ()32103n n f n -=取得最小值,即nS n 的最小值为-49.【答案】-498.（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等。

设.n n OA a =若a 1=1,a 2=2则数列{}n a 的通项公式是_______。

O【解题指南】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求解. 【解析】由题意可得：2010()n nS aS S a -=+ ①2001()2n n S S a S S a ++=+ 即2010+2()n nS S aS S a +=+ ② ①②两式相加得2222211112222n n n n n n na a a a a a a -+-+=+?+，所以数列2{}n a 是公差为2221-3a a =的等差数列.故2213n a a =+（n-1）=3n-2，即n a 【答案】n a三、解答题9. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ17）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解题指南】（I ）根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出{}n a 的通项公式. （II ）将（I ）中的通项公式代入到nn na b 1=中,采用裂项相消法求和.【解析】（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则d n a a n )1(1-+=. 因为⎩⎨⎧==919724a a a ，所以⎩⎨⎧+=+=+)8(21846111d a d a d a ，解得21,11==d a .所以}{n a 的通项公式为21+=n a n . （II ）因为)111(2)1(21+-=+==n n n n na b n n 所以)1113121211[2+-+⋅⋅⋅+-+-=n nS n 12+=n n . 10.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ17）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.【解析】设}{n a 的公差为d ，由232=S a ，得2223=a a ，故02=a 或32=a . 由1S ，2S ，4S 成等差数列得2214=S S S . 又d a S -=21，d a S -=222，d a S 2424+=. 故=-22)2(d a )(2d a -)24(2d a +.若02=a ，则222d d -=，解得0=d ，此时0=n S ，不符合题意. 若32=a ，则2(6)(3)(122)-=-+d d d ，解得0=d 或2=d . 因此}{n a 得通项公式为3=n a 或12-=n a n .11.（2013·安徽高考文科·Ｔ19） 设数列{}n a 满足1242,8a a a =+=,且对任意n ∈*N ，函数 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-，满足'()02f p =。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12()2nn n a b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S 。

【解题指南】（1）由()02f p¢=证得{}n a 是等差数列；（2）求出 {}n b 的通项公式，利用等差、等比数列的求和公式计算。

【解析】（1）由题设可得，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++¢=-+--，对任意n ∈*N ，121()=02n n n n f a a a a p +++¢=-+-，即+121={}n n n n n a a a a a ++--，故为等差数列.由1242,8a a a =+=解得{}n a 的公差d=1，所以a n =2+1·(n-1)=n+1. （2）由11112()=22222n n n a n n b a +=++（n+1+）=2n+知， 21211[1()](1)122 (223112212)n n n nn n S b b b n n n -+=+++=++=++--。

12. （2013·湖北高考文科·T19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【解题指南】（Ⅰ）由条件4S ，2S ，3S 成等差数列和23418a a a ++=-列出方程组，解出首项和公比，运用等比数列通项公式得出{}n a 的通项公式。

（Ⅱ）假设存在正整数n ，使得2013n S ≥，解不等式，求n 的解集。

(){}(){}()123211124321223411,0,0.,,3,18, 2.118,32.n n n n a q a q a q a q a q S S S S a a a a q a q q q a a -≠≠⎧--=-=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨++=-=-++=-⎩⎩⎪⎩=-设数列的公比为则由题意得即解得故数列的通项公为【解】式析Ⅰ()()()()()()()()(){}31212.12,201322013,22012.20,222012,22012,11.21,,5.nn n n nn nn n n S n S n n n n n n n k k N k ⎡⎤--⎣⎦==----≥-≥-≤-->-=-≤-≥≥=+∈≥由有若存在使得，则1-即当为偶数时，上式不成立；当为奇数时，即则综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为ⅡⅠ13. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ17）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。