?
? bmu ( m ) (t ) ? bm ?1u (m?1) (t ) ? ? b1 u (t ) ? b0u (t )
式中 y(i) (t ), i ? 0,1,2,? , n 为输出信号的各阶导数， a i , i ? 0,1,2,? , n 为常系数
为输出信号的各阶导数， 为常系数
2、线性定常系统的基本性质（迭加原理） 如果有 输入 x1(t) ? 输出 y1(t)
媒质阻力h的大小与运动速度成正比 得到单摆系统的运动方运动 由方程唯一确定。
（2）求取单摆系统的线性化方程 由于
在?=0邻域展开泰勒级数为
忽略2次以上高次项，有 ? =?
得到线性化方程为
注意： （1）本质非线性系统不可以作线性化。
本质非线性系统不连续性、不可导性使得其 泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不 成立。
由于电枢电感很小，略去La，得1阶方程
§2.2 非线性微分方程的线性化
线性方程
非线性方程(连续、可导)
y=kx
y=f(x)
应用小偏差理论实现非线性方程的线性 化
? 具有连续变化的非线性函数
y=f(x)
为预定工作点，则该非线性函 数可以线性化的条件是：变量X 偏离预定 工作点很小。
泰勒级数：
略去二阶以上高次项
综合上述方程组，消去中间变量 i1，i2，uc1， 得到以ui为输入，uo为输出的微分方程
为二阶微分方程 。 设时间常数为 方程可以写为
或
力学系统
运动规律为牛顿定律
机械平移运动
例2－3 设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，
试列出以力Fi为输入，以质量单元的位移x为 输出的运动方程。
解 由加速度定律
输入 x2(t) ? 输出 y2(t)
则系统的输入为
输出保持线性可加为
3、控制系统微分方程的建立
解析法：（基础方法）
根据物理系统的运动定律列写方程。
实验法：（工程方法）
根据实验数据确定系统的运动规律。
主要以解析法列写方程：
电学系统
力学系统
电学系统 i 元件约束：线性元件的V－I关系
ii 网络约束 基尔霍夫的两个定律 节点电流定律 回路电压定律 在这两个网络基本方程的约束下，可以确 定电网络中独立变量的个数，并写出电网 络的微分方程。
写出增量式 则 在x0邻域，斜率为 得到增量方程 写为普通变量，得到线性化方程
例2－7 已知单摆系统的运动如图2－11所示。 （1）写出运动方程，（2）求取线性化方程。
解（1）列写运动方程 摆球质量为 m
摆长为l；摆角为 ?， 运动弧长为 l·? ，
摆球运动阻力为h，
? 很小时，由牛顿定律可以写出
如果以角度 θ为输出，由于
得到2阶方程
复合系统： 电动机——机电复合系统 例2－5 已知直流电动机，定子与转子的 电磁关系 与
机电系统原理 如图所示，试写出其运动方程 电磁物理结构图
定子
转子
机电系统原理图
1、电网络平衡方程 2、电动势平衡方程 3、转矩平衡方程 4、电磁力矩方程
4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空 载阻力矩ML，得到电枢电压Ui——旋转角速 度ω的2阶运动方程
第二章 控制系统的数学描述方法
1、线性常系数微分方程
（时间域描述）
2、传递函数（Transfor function ）
3、结构图
（算子域描述） （图形化描述）
§2.1 控制系统的微分方程
1、线性常系数微分方程
?
y(n) (t ) ? an?1 y(n?1) (t) ? ? ? a1 y(t) ? a 0 y(t )
合力为
Fi
k k－弹性系数
f －阻尼系数
m m－物体质量
f
x
外力 弹性阻力 粘滞阻力 代入方程有
机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。
机械旋转运动
例2－4 已知机械旋转系统如图所示，试列出 系统运动方程。
解 由角加速度方程
其中 J：转动惯量 ? ：角加速度 ∑M ：合外力矩
得到
整理 ，为Mf — ? 的一阶微分方程。
例2－1 考虑由电阻 R与电容 C组成的一
阶滤波电路，写出以 ui为输入，uo为输出 的微分方程。
解 由回路电压定律
R
ui
C
uo
由于
代入
令时间常数T=RC，得到一阶微分方程
或
例2－2 考虑两级RC网络的滤波电路，写出 以ui为输入，uo为输出的微分方程。 解 对于回路L1有
对于回路L2有
元件约束为
（2）不同的工作点，不同的线性化系数， 有不同的线性化方 （3）工作点邻域的线性化方程是增量方程 （小范围工作）。 （4）多变量情况时，其线性化方法相似。 如双变量时，函数关系为f(x,y)。