T3
M3
9549
P3 n3
9549
7 360
185 .7(N m)
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Emax

T1 WP1

1114103 0.2 703
16.24(MPa)
H 轴：
H max
T2 WP2

557103 0.2 503
22.28(MPa)
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
Mx
16 Mx
max=
Wp2
=
=40 MPa
应力计算例1
如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm, BC=50mm,G=80GPa。求此轴的 最大切应力
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
ABmax

应分力析. ：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横 截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分 别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出 C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
TAB WAB

5106 0.2803

48.83MPa

BC max

TBC WBC

1.8 106 0.2 503
72MPa
应力计算例2
在图示传动机构中，功率从B轮输 入，再通过锥齿轮将一半传递给铅 垂轴C，另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平 轴E和H的转速n1=n2=120r/min， 锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36， z2=12，图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切
E 轴：
C max
T3 WP3
185.7103 0.2 353
21.66(MPa)
圆轴扭转时横截面上的切应力例题3
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
d ＝ Mx
dx GIp
Ip=A 2 dA
GIp—扭转刚度
Ip —截面的极惯性矩
圆轴扭转时横截面上的切应力
切应力公式
()＝Mx
Ip
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max=
Mx
Wp
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
1 4
0.2D3 1 4
其中d为圆截
面直径（d、
D为圆环内外
径）


d D
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
=d / D
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于实心圆截面
Ip＝
d
32
4
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(Leabharlann 1-4)=d / D
D23(1- 4)
16 716.2 D2 = (1- 0.5 4) 40 106=0.045 m=45 mm
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 A2
d12
= D22(1- 2)
=1.28
小结
➢切应力分布 ➢切应力的计算 ➢截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：


T Ip

最大切应力公式
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
max

T Wp
作业
P270
15-10
❖ 各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直
设距离轴线为处 的切应变为()， 由几何关系得到：
( )dx d
( ) d dx
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
＝G
物理关系与应力分布
＝G ＝G d
dx
静力学方程

A


()dA=Mx
切应力公式
截面图形的几何性质
• 极惯性矩Ｉp
I p
2dA 2dA A
扭转截面系数Ｗp
Wp

Ip r
Ip
d 4 32
0.1d 4
Wp
d 4 16
0.2d 4
I p
D4 32
1 4
0.1D4 1 4
Wp
D3 16
扭转切应力计算
西安航专机械基础教研室 刘舟
主要内容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
工程中承受切应力的构件
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A
B
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
变形特征
扭转后圆截面保 持为圆平面，
原半径直线仍保 持为直线
• 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线
推断结论：
❖ 横截面上各点无轴向变形， 故横截面上没有正应力。
❖ 横截面绕轴线发生了旋转式 的相对错动，故横截面上有 剪应力存在。
再通过公式：
M 9549W n
可以求得各轴所 受到的外力矩
M1 M2 M3
例2（续）
解：
1、求各轴横截面上的扭矩：
E 轴： H 轴： C 轴：
T1
M1
9549
P1 n1
9549 14 120
1114 ( N m)
T2
M2
9549
P2 n2
9549 7 120
557 ( N m)
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，
即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a)、b)、c);均有∑Mx=0 得：
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
扭转切应力分析
圆轴扭转时的变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析
扭转切应力由扭矩产生
扭矩正负规定：右手法则
外力偶矩与功率和转速的关系
P(kW) T=9549n(r/min)(N.m)
扭矩和扭矩图
主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试传动轴指 定截面的扭矩
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m