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MA
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
FA= FP
MO=2FPl
FFQP= FP
A
C
l
B
M=0
l
MO=2FPl FQ= FP FP
A
C
l
B
M=-FPl
l
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
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MA=0 MO=2FPl
弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
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FP1
FQ
M1
M
x FP1
FP3
FP5
Fy＝0， M＝0
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函 数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制 面（control cross-section）。据此，下列截面均 可为控制面：
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（简支梁）
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固定铰支座
A l
辊轴支座
B
简支梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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描述内力变化规律有两种方法：
1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 图形——剪力图与弯矩图。
两种描述方法都要：
1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
杆件内力变化的一般规律
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件 上的外力相平衡；
解：2．确定控制面和分段
因为梁上只作用有连续分布
载荷(载荷集度没有突变)
，没有集中力和集中力偶的
B
x
作用，所以，从A到B梁的 横截面上的剪力和弯矩可以
分别用一个方程描述，因而 FRB 无需分段建立剪力方程和弯
矩方程。
3．建立Oxy坐标系：以梁的左端 A为坐标原点，建立Oxy坐标系
第5章 剪力图与弯矩图
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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梁的力学模型
外伸端 固定铰支座
C
A
l2
l1
辊轴支座
B 外伸梁（一端外伸）
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
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M1
FP4 M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
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总体平衡与局部平衡的概念
FP2
q(x)
FQ
q(x) FP4
M'
M1 FP1
M F 'Q FP3
M2 FP5
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x)
例题 2
q
A
B
l
一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称 为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为
q的均布载荷作用，梁的长度为l。
试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
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q
A
B
l
FRA
FRB
剪力方程与弯矩方程
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y
q
解：4．确定剪力方
A
O
x
l
FRA
B x 程和弯矩方程
FRB 对于坐标为x的截面，将其
q
M(x)
q
左侧的均布载荷和约束力向
右侧简化，得到该截面上的
剪力方程和弯矩方程：
FRA x
l－x
FRB
FQ(x)
FQ

x
＝-FRA

qx＝-
ql 2
+qx
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
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FP1
x
dx FP3
考察微段的受力与平衡
FP5
q(x)
M
M+d M
C
FQ
FQ+ dFQ
dx
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
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考察微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
C
FQ
第5章 剪力图与弯矩图
工程中的梁与梁的力学模型
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第5章 剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴 线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯 曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲 （bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁 （beam）。
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看 作梁的杆件很多
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x
＝-
ql 2
+qx
x
C
B
l
B
M x＝- ql x+ qx2
22
将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
dFQ x＝q
dx
dM
dx
x ＝-
ql 2

qx＝FQ
d2M dx2
＝q
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明
架在空中的悬臂梁
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（悬臂梁）
固定端
A
l
自由端 B
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FP A
B
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
C,
M
Cx D
斜直线
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第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
FQ const.=C
q=0
dFQ q 0 dx
dM dx
FQ =const.
x
x
M Cx D
M
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FP2
FP4
M1
M2
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FP1
x
FQ
M1
M
x FP1
FP3
FP5
Fy＝0， M＝0
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的 两种方法
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第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
q(x)
FP2
FP4
M1
M2
FP1
FP3
FP5
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
当梁上的外力（包括约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以 及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
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例题1
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝
2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
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第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
第5章 剪力图与弯矩图