练习十一 机械振动(一)1.质量为0.01千克的小球与轻弹簧组成的系统的振动规律为米，)31(2cos 1.0+=t x πt 以秒记。

则该振动的周期为 1s 初周相为 2/3π，t=2秒时的周相为14/3π周相为32π/3对应的时刻t= 5s 。

2.一质点沿X 轴作谐振动，振动方程),)(312cos(1042SI t x ππ+⨯=-从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm 处，且向X 轴正方向运动的最短时间间隔为 0.5s 。

3.( 2 )设质点沿X 轴作谐振动，用余弦函数表示，振幅A ，t=0时，质点过x A02=-处且向正向运动，则其初周相为：(1)π4;(2)54π;(3)-54π;(4)。

3π-4.( 4 )下列几种运动哪种是谐振动：(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动；(2)活塞的往复运动；(3)细线悬一小球在水平面内作圆周运动；(4)浮于水面的匀质长方体木块受扰后作无阻尼上下浮动。

5.谐振动振动的周期为1秒，振动曲线如图11-5所示。

求：(1)谐振动的余弦表达式；解：A ＝0.04m ，ω＝2πT ＝2π，φ0＝－π/3 所以 y ＝0.04cos(2πt －π/3)(2)a 、b 、c 各点的周相ϕ及这些状态所对应的时刻。

Φa ＝0，Φb ＝π/3，Φc ＝π6.质量为0.04千克的质点作谐振动，其运动方程为x t =-0452.sin()π米，式中t 以秒计。

求： (1)初始位置、初始速度； 解：x=0.4cos(5t －π)v=dx/dt＝－2sin(5t－π)a=dv/dt＝－10cos(5t－π)当t＝0时，x0＝-0.4m，v0=0(2)t=4π/3时的位移、速度、加速度；当t=4π/3时，5t－π＝17/3π＝6π－π/3v＝m/s，a＝－5m/s2x＝0.2m，3(3)质点在最大位移一半处且向X轴正向运动的时刻的速度、加速度和所受的力。

当x＝±A/2，v>0时，φ＝4π/3 或者φ＝-π/3v＝m/sv＝m/s 33a＝5m/s2a＝－5m/s2F＝0.2N F＝－0.2N7.弹性系数为k的轻弹簧和质量为M的木块组成水平弹簧振子，质量为m的子弹以速度v（与x轴方向相反）水平射人静止木块中，并开始一起作简谐振动，试写出振动方程。

（已知k＝8 ×103 N/m，M＝4．99 kg，m＝0．01 kg，v ＝1000 m/s）。

解：)240cos(05.02)0,0(05.0)/(/0.2):()(/400002020000ππϕωω+=∴=→=<=+==→+==+=t x x v mv x A sm v v v m M mv srad mM k用旋转矢量法进入后的共同速度练习十二 机械振动(二)1.当谐振动的位移为振幅A 的一半时，其动能和势能之比为 3：1 ，当x=A 22±动能和势能的值相等。

(1) 2p 2k 22p kA 83E kA 21E kA 812A k 21E ＝－＝，＝）（＝(2)A 22x 21kA 21E kx 21E 2k 2p ±⨯＝，＝＝＝2.已知两个简谐振动的方程为：)4sin(04.01ππ-=t x 和)4cos(03.02ππ-=t x ，则它们合成后的振幅为 0.05m ，初相位为π+-)3/4arctan(，周期为0.5s 解：)234cos(04.01ππ-=t xπϕϕϕϕϕϕϕϕ+-∴-=++==-++=)34arctan()(34cos cos sin sin tan 05.0)cos(22211221112212221＝第二象限A A A A A A A A A3.图12-2中(1)和(2)表示两个同方向、同频率的谐振动曲线，则(1)和(2)合成振动的振幅为 0.01m ，初周相为 －π/3 ，周期为 12s 。

试在图中画出合振动的振动曲线。

解：由φ0＝－π/3和φ5＝π/2 得：ω×5－π/3＝π/2所以：ω＝π/6，T＝12sx1＝0.02cos(π/6t－π/3)x2＝0.01cos(π/6t＋2π/3)＝－0.01cos(π/6t－π/3)所以x＝x1+x2＝0.01cos(π/6t－π/3)4.( 2)轻弹簧K的一端固定，另一端系一物体M。

将系统按图14-3所示三种情况放置，如果物体作无阻尼的谐振动，则它们振动周期的关系是：(1)T T T 123>>； (2)T T T 123==； (3)T T T 123<<； (4)不能确定。

5.( 2 )一劲度系数为K 的轻弹簧，在水平面作振幅为A 的谐振动时，有一粘土(质量为m ，从高度为h 处自由下落)正好落在弹簧所系的质量为M 的物体上，粘土是在物体通过平衡位置落在其上的；请问下列说法哪个正确： (1)周期变大，振幅变大； (2)周期变大，振幅变小； (3)周期变小，振幅变小； (4)周期变小，振幅变大。

增大π＝kmM 2T + 能量有损失，振幅减少* * 如果振子在±A 处，无能量损失，振幅不变6.（2）简谐振动的周期为T ，则动能变化的周期为: （1）T/4； （2）T/2 ； （3）T ； （4）2T 。

2/)(sin 212102222T t mA mv E k 周期为→+==ϕωω7.质点作简谐振动，已知振幅A＝2 cm，最大速度v max＝3 cm/s。

t＝0时，x o＝0，速度有正最大值，（1）求振动加速度的最大值；（2）写出质点的振动方程；（3）应用旋转矢量图的方法求从x=A/2处向负向运动到x=-A/2处所需的最短时间：解：)(9231)3()25.1cos(02.0)2(/045.0)cos()1(20,0/5.1/)sin(22max 02000max max 0s t t t x s m A a t A a v x s rad A v A v t A v πωπϕπωϕωωπϕωωϕωω=∆→∆==∆-===→+-=-=→>===∴=→+-=8.弹簧下端固定在地面上，上端压一个重物，重物使弹簧缩短10厘米，如果给物体一个向下的瞬时冲击力使它以1米/秒向下的速度启动，并上下振动起来，取向下为X 轴正方向，求振动角频率、振幅、和振动方程式。

解：已知x 0＝0，v 0＝＋1m/s 所以φ0＝－π/2mg ＝0.1k ，s /rad 10mk＝ω＝）－π（＝所以＝）ω＋（＝2/t 10cos 1.0x m1.0v x A 2020练习十三 机械波(一)1.机械波指的是 机械振动在介质中的传播 ，机械波在弹性媒质中传播时，质点并不随着波前进，波所传播的只是 振动状态 或 相位、能量 。

2.如图15—2所示，一平面简谐波沿X 轴负方向传播，波长为λ，若P 点处质点的振动方程是y=Acos(2πγπt +12)，则该波的波动方程是 )L 221x 22cos(λπλπ+++=ππγt A y ，P 处质点在γλL t 1+时刻的振动状态与O 点处质点t 1时刻的振动状态相同。

3.( 3 )试判断下列说法哪个是正确的： (1)机械振动一定能产生机械波；(2)质点振动速度和波的传播速度是相等的；(3)质点振动的周期和波的周期在数值上是相等的； (4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上。

4.( 4 )一机械波的波速为C ，频率υ，沿x 轴负向传播，在x 轴上有两点x 1和x 2如果x 2>x 1>0，那么x 2 和x 1处的位相差∆ϕϕϕ=-21 为： (1)0； (2)π；(3)212πγ（x x c -)； (4)221πγ()x x c-。

5.（2）在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动为：（1）振幅相同，相位相同；2）振幅不同，相位相同； （3）振幅相同，相位不同;（4）振幅不同，相位不同。

解：)2cos(),2cos(21x t A y x t A y λπωλπω+=-=t A t x A y x ωωλπcos cos )2cos2()(=⋅=6.已知波源在原点(x=0)平面简谐波方程为y=Acos(Bt-Cx),式中A 、B 、C 为正恒量。

求 (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； 解： 与 ）φλπ－（ω＝0x 2t Acos y + 比较，得： CB T u B T B T CCx x B A ======∴=→====λπνπωππλλπϕω,21,2222;0,,0。

振幅 (2)写出传播方向上距波源l 处一点振动方程； 解：)cos(Cl Bt A y -=(3)任一时刻在波传播方向上相距为D 的两点之间的位相差。

解：D C Cx Bt Cx Bt ⋅=---=∆)()(22ϕ7.一横波沿x 轴正向运动，波速为100米/秒，且沿x 轴每一米长度含有50个波长，振幅为3厘米，设t=0时位于坐标原点的质点通过平衡位置向y 轴正向运动，求波动方程。

解：)202.0210cos(03.0/10/222/0,002.050/144000ππππλππωπϕλ--=∴===-=====x t y s rad uT v x m得：由练习十四 机械波(二)1.平面简谐波方程y=Acos ω (t-x/c)表示 坐标为x 的质点在t 时刻离开平衡位置的位移 ；式中固定x 时y=f(t)表示 坐标为x 的质点的振动方程 ；固定t 时y=f(x)表示 t 时刻的波形方程 。

2.在波的传播过程中,对任意体积元来说，它的机械能是作周期性变化,动能和势能的变化是同步的,所以波动是能量传播过程。

3.(2 )机械波波动方程为y t x SI =+0036001.cos (.)(),π则(1) 其振幅为3米； (2) 周期为(1/3)s ；(3) 波速为10m/s ； (4) 波沿着x 轴正向传播。

4.( 3 )如图16—4所示，一余弦横波沿X 轴正向传播。

实线表示t=0时刻的波形，虚线表示t=0.5s 时刻的波形，此波的波动方程为：；m x ty )]4(2cos[2.0)1(-=π ；m x ty ])4(2cos[2.0)2(ππ+-= m x t y ]2)42(2cos[2.0)3(ππ+-=；。

m x t y ]2)42(2cos[2.0)4(ππ--=5.一横波沿绳子传播时的波动方程为：y=0.05cos(10πt-4πx)，式中y 、x 以米计，t 以秒计。

(1)求绳上各质点振动时的最大速度和最大加速度；πωϕλπωωπωϕλπωω5)2cos(5.0)2sin(2m ax 02m ax 0==→+--=∂∂===→+--=∂∂=A a x t A t v a A v x t A t y v(2)求x=0.2米处质点在t=1秒位相，这一位相所代表的状态要t=1.25秒时刻到达哪一点？在t=1.5秒时刻到达哪一点？mx t m x t t x 45.12.95.1825.02.925.12.92.041101,2.0=======⋅-⋅===时，，②当时，，①当时，当πϕπϕπππϕ6.一平面简谐波在媒质中以速度20m/s 沿X 轴正向传播,已知在传播的路径上某点A 的振动方程为y=3cos4t(cm)(1) 试以A 点为坐标原点,写出其波动方程；)01024cos(03.0102+-=∴===x t y muuT A ππωπλ解：(2) 试以距A 点5米处的B 点(如图所示)为坐标原点，写出其波动方程；)1024cos(03.02000ππππϕπλπϕϕ--=∴-=→=⋅=-x t y AB B B B A 解：(3) 若传播方向X 为轴负向,请重作(1)和(2)的计算。