以n＝4，x＝2为例，欲求P（x＝2）＝？。
在4次贝努利试验里，获得 2次成功的方式有 C42种：
ssff sfsf sffs fssf fsfs ffss
注意：C42是从四个位置选取两个位置的组合方式。
依据计算公式Cnx

n! x!(n
, x)!
C42

4! 2!2!

4 3 21＝6 21 21
tx1 n1

n!
t1(1 )n1t
t0 t!(n 1 t)!
2. 二项分布的常用记号
n : 贝努利试验的次数 ;
x : 二项分布变量X的取值，即总共获得“成功”的次数；
: 一次贝努利试验中获得 “成功”的概率；
1－ : 显然是一次试验中获得 “失败”的概率； P(x) : 总共获得 x次“成功”的概率。
3. 二项分布的概率函数P(x)
• 怎样得到P(x)?
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。 例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项 分布。X的概率分布表为
x
P(x)
0
0.062
1
0.250
2
0.375
3
0.250
4
0.062
n 4, 0.5,
第三章 几种常见的概率分布律
回顾一下，在上一章里讲了变量及其概率分布的一 般概念。
• 离散变量用概率函数来研究，概率函数定义了这个变量取
每个值的概率；
• 连续变量用密度函数（一条曲线）来研究，通过这条曲线我们
可以求得变量在某个特定区间取值的概率。
在这一章里，我们将介绍一些在实际研究中应用最 广的变量类型及其概率分布。
• 平均数 E( X ) n
定义 n
证明： E( X ) P(x)x x0
n

n! x (1 )nx x
x0 x!(n x)!
n

n! x (1 )nx x
x1 x!(n x)!
n

n!
x (1 )nx
x1 (x 1)!(n x)!
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。
（3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。
解：根据题意，这是一个二项分布的问题。视出苗为成功，有n 6, ＝0.67。
设出苗的种子数为x,则x服从二项分布。
P(至少有1粒出苗)＝P(x 1) P(x 1) P(x 2) P(x 6)
C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 0.0157 0.0799 0.0905 0.9987 另外一种方法： P(至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P(x 0) 1 C60 0.6700.336 1 0.0013 0.9987
在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量X；X称为二项分布变量，X的概率分布 称为二项分布。
X的可能取值为0，1，2，…，n。所以X是个离散型变量。
每种方式发生的概率为：
乘法法则
P(ssff) P(s)P(s)Pf()P(f) (1) (1) 2 (1)2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得x 2次成功的概率为
P(2) C42 2 (1)42
** 由此类推到一般情形，在n此贝努利试验中， 共获得x次成功的概率是
离散变量
二项分布 泊松分布 超几何分布
连续变量
正态分布 指数分布
负二项分布
第一节 二项分布
（Binomial Distribution）
1.贝努利试验和在什么情形下应用二项分布
•贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果， 并且发生每种结果的概率是一定的。
例如：抛一枚硬币，看得到正面还是反面； 掷一次骰子，看得到6还是没有得到6； 随机抽查一名婴儿的性别，看是男是女
n
n
（2） P(x) Cnx x (1)nx [ (1)]n 1n 1
x0
x0
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传 理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3：1。求窝产 仔10头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题，
视白猪为成功，有 n 10, ＝ 3 0.75，x 7。
P(x) Cnx x (1 )nx
关于P(x) Cnx x (1 )nx的讨论：
（1）从形式上来说，Cnx x (1)nx是二项式[ (1)]n 展开
的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
[ (1 )]n Cn0 0 (1 )n Cn11(1 )n1 Cnx x (1 )nx Cnn n (1 )0
P(0) C40 0.500.54 0.062
概率
X的概率分布图为
二项分布
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0.15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
获得正面的次数x
注意：
0.5时，分布对称； 0.5时，分布偏斜：
0.5时，正偏 0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
4
P(x 7) P(7) C170 0.757 (1 0.75)107
10! 0.757 0.253 7!3!
0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒 种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是 多少？