（19）
以及 等。 同样的，对于运动情况有
（21） （20）
式中，αi为加速度分量，ρ为密度。如果为Fi为根据单位质量测得 的值，ρ Fi那么它应该用代替。
（8）
又
（9）
将式（9）代入式（8）得
（10）
但从力的平衡式（5）得
，那么
（11）
由于
（12）
将式（12）代入（11）得出
（13）
或
（14）
对于任一体积，有
（15）
其中隐含
（16）
例如，考虑i=1的情况，那么式（15）给出以下非零项
（17）
但
，所以
。
利用式（16），则式（5）可以写成
（18）
式（18）和式（16）可以用（x,y,z）(von Karman)标记写成
对于物体的任一体积V，其表面积为A,如图1所示，于是有以 下的平衡条件：力矢量和为零，即 ，或
（1）
对点的力矩矢量和为零，即
，或
（2）
将
代入，式（1）可写成
（3）
利用散度定理，上式可表示成
（4）
图1
对于一个任意的体积
（5）
同样，式（2）可写成以下形式:
（6）
由散度定理，其i固定，有
（7）
于是，式（2）变成
张量分析在建立力学平衡 微分方程中的运用
研究问题中张量分析的必要性
自然界变化和运动是有规律的，认识这些规律是自然 科学的任务。而用数量来描述这些规律时，往往需要引入 坐标系，才能把数学带到自然科学中去。然而，本来与坐 标系选取无关的自然规律，它的数学表达形式不得不与坐 标系的选择夹杂在一起，而使人对其物理实质不易辨认。 张量的引入，则恰是力图既采用坐标系又摆脱具体坐 标系影响的一种尝试。使用张量，可以简化推导，使演算 使用张量， 使用张量 可以简化推导， 过程清晰，表达整齐， 过程清晰，表达整齐，用张量来描述自然科学中一些规律 所得的结果，在任何坐标系具有不变的形式，这将给研究 所得的结果，在任何坐标系具有不变的形式， 工作带来极大的方便。