求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
8
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
则D1
(0,
0,1),
B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z

A1E


1,
1 2
,
0

,
D1B 1,1, 1
设n (x, y, z)是与A1E, D1B都垂直的向量，
D1
则 n A1E 0,
x

1பைடு நூலகம்2
y

0,
A1
n D1B 0, x y z 0,
E C1
B1
即
y z
2x, 3x,
11
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12
A
其中 AP为斜向量， n为法向量。
P
n d O
4
三、平面到平面的距离
d | AP n |

n
A
n
P d O
5
四、异面直线的距离
d | AP n | a n
AP ?
n?
b

A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
6
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7
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
取x＝1，得其中一个n
选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1,
0,
(1,
0
2, 3)
,
A
x
D
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
9
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d

|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
10
小结
空间距离问题的向量解法
1
一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个
垂线段的长度。
还可以用等积法求距离.
P
d
O
2
向量法求点到平面的距离
d | AP n | n
P
n
d

O
A
其中 AP为斜向量， n 为法向量。
3
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n