四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
uuur r
直线到平面的距离：
d
|
AP n | r
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
例1.如图所示,在平行四边形ABCD中, AB AC 1, ACD 900 ,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成 600角,求B、D间的距离.
A
D
B
C
例2.已知正方形ABCD的边长为4,CG 平面ABCD, CG 2, E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面 GEF的距离.
z
P
A x
F Cy Q
E
B
例5.正方体ABCD A1B1C1D1的边长为4, M、N、 E、F分 别 是A1 D1、A1 B1、D1C1、B1C1的 中 点. (1)求证 : 平面AMN // 平面EFBD;
(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
sin uduur
d | AP | sin
P
AP
r n
uuur r | AP n |
sin uuur r
AP n
d
O
d | AP n |
A
uuur
r
n
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
注:点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的绝对值除于法向量的模.
空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a2 或
a
x2 y2 z2
(其中 a (x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d
|
AP n | r
n
Pr
n d
O A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d
|
AP r
n
|
n
A
r n
P
d O
四、异面u直uur线r的距离
d
|
AP n | r
a
n
uuur
ArP ?
b
n?是r 直线a、b上的任意两点; n 是与 a, b 都垂直的向量
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
例3.如图,正四棱锥S ABCD的高SO 2,底边长 AB 2,求异面直线BD与SC之间的距离.
S
D
C
O
A
B
例4.如图,已知边长为4的正三角形ABC中, E、F分别为 BC和AC的中点, PA 2,且PA 平面ABC，设Q是CE 的中点. (1)求证 : AE // 平面PFQ (2)求AE与平面PFQ间的距离.