G
x D F A
C
E
y
B
例: 1 如图，已知正方形
ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|

A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥ 平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)
F A
C
E
y
B
练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平 面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d n
A1 B1
D
A B
C
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 B1 C1
d
C
DA n n
∴d
MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
E
பைடு நூலகம்
y
B
2 11 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11
• 求点到平面的距离的步骤：
• ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标； • ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； • ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接 向量的坐标； • ⑷ 代入公式求出距离.
练习1:
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
x
F
D
C
取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0)
d | n BE| n
2 x 2 y 0 n EF， n EG 2 x 4 y 2z 0 A
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
D
A B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
小结：
怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 •直线到平面的距离：转化为点到平面的距离 。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。