生产函数
上海理工大学 王新兴
【课前思考】假如你在路边看到一个摆摊的学生从事洗车业务，洗完之后车主付他50块钱，你这50块钱是给他的劳动力呢？还是给这个车洗完的光亮？
生产的经济理论主要研究在给定生产函数情况下，以利润极大化理论为基础的投入需求函数和产出供给函数的特征。

它包括两类问题：一类是描述企业可利用的生产工艺变动范围等内容的技术约束，这是本节讨论的重点；一类是企业发生交易所在市场的结构，后面详述。

1、生产可能性集
企业拥有一个生产可能性集Y ⊂m R ，每一个向量y=(1y ,2y ,...，n y )∈Y 是个生产计划，其分量标明了各种投入与产出的数量，i y <0代表投入，i y >0代表产出。

生产集主要性质包
括：
（1）Y 不能为空集。

（2）Y 是闭集。

（3）0∈Y
（4）若Y y ∈，y y ≤'，则Y y ∈∃'。

（5）若Y y ∈，0≠y ，则Y y ∉-。

（6）规模报酬不变
（7）可加性。

（8）齐次性。

（9）凸性。

Y y ∈，Y y ∈'，]1,0[∈α，则Y y y ∈-+')1(αα。

（10）Y 是个凸锥。

若Y y ∈，Y y ∈'，常数0>α，0>β，有Y y y ∈+'βα，则Y 是个凸锥。

【例题】证明：生产集Y 是可加的，并且满足非递增规模报酬，当且仅当Y 是个凸锥。

生产可能性集目前是刻画企业技术的最一般方法，因为它允许有多种产出与多种投入，更为方便的方式是生产函数。

【注意】函数、变换、对应、映射、算子五个概念等同。

2、生产函数性质
（1）生产函数f :++→R R n 上连续的，严格递增的，并且严格拟凹
的函数，并且0)0(=f 。

当生产函数是可微的，其偏导i x f ∂∂/)(x 被称为投入i x 的边际产品，
表示给出所使用的投入i x 的单位增量引致产出变动的增量。

对于任何固定的产出水平y ，生产y 单位产出的投入向量的几何被称为y 水平等产量集，记作：)(y Q ≡})(|0{y f =≥x x 。

（2）边际技术替代率（MRTS ）：度量了在不改变所生产的产出量的条件下，一种投入可被用于替代另一种投入的比率。

在投入向量为x ，投入要素i x 和j x 之间的边际替代率可表示为)(x ij MRTS ，可定义为边际产品的比率。

【注意】相对于其他投入品的数量使用某一类投入过多，以致于该投入量增加会造成拥挤和无效率。

即理性厂商不会在等产量线斜率为正的部分进行生产。

【例题】研究生产函数32312221x Bx x Ax Q -=性态
（3）若某个给定生产函数类别中投入间的替代性系统地不同于其他不同类别中投入间的替代性，则称该类型的生产函数是可分
的。

这种可分性又有两种类型：
设},...,2,1{n N =表明所有投入的指标集，并设这些投入可被划分为S>1种相互排他的类别与排他性的子集S N N ,...,1,如果在同一类
别中的两种投入的MRTS 独立于其他类别中所使用的的投入，那么该生产函数可称为弱可分的，即：
0/))(/)((=∂∂k j i x f f x x ，
t S N k N j i ∉∈∀,,。

当S>2时，如果来自不同类别的两种投入之间的MRTS 独立于这两种类别之处的所有投入，那么生产函数被称为强可分的，即：0/))(/)((=∂∂k j i x f f x x ，S N i ∈∀,t N j ∈∀，且t S N N k ⋃∉。

【重要提示】函数可分性在集合异质投入和产出分析，推导附加价值函数和估计生产函数时有重要作用，也为连贯的多阶段估测提供可能性。

当高度复杂组织的生产活动包含太多的投入和产出时，运用可分性是唯一可行的处理方法。

（4）MRST 是对生产既定产出水平的投入之间的替代性的局部度量。

经济研究倾向于使用无量纲弹性来度量替代性，由此引入替代弹性。

替代弹性σ，对于一个生产函数)(x f 在点x 处，投入i x 和j x 之间的替代弹性定义为：))(/)(log(/)/log(x x j i j i ij f f x x ∂∂=σ。

一般而言，当0→ij σ，替代性越困难；∞→ij σ，替代性越强。

【例题】计算CES 生产函数替代弹性
（5）欧拉定理与产出弹性
若生产函数满足一阶齐次性，即)()(x x tf t f =，则)()(1x x f f x i n i i =
∑=，每
种投入品按其边际产量的价值支付，总产出正好分完，其中)(/x f f x i i 表示要素i x 所占的分配份额或称之为产出弹性。

【思考】如何证明欧拉定理？
（6）不具有实体的技术变化
技术进步研究由于采用生产过程的影响为中性或改变投入—产出关系的新技术所引起的生产函数变化的过程和结果，可以根据如下经济变量的影响来衡量。

1）技术变化率：f f T l /=
2）技术变化的加速度：2)/()/(f f f f T l ll -=
3）边际产品的变化率
【计量问题】关于生产者行为的经济计量模型采用的是联立方程组的形式，确定投入要素分配份额和技术变化率为投入要素价格和技术水平的函数。

替代弹性和技术变化的度量，给出了分配份额和技术变化对价格和技术的反应，为建立生产者行为的经济计量模型，通常将这些度量看成是待估计未知参数。

3、要素变动与规模报酬
（1）短期与长期生产函数
定义短期生产函数的时间周期有三个限制，1）必须短到足以使企业无法改变其固定投入的水平；2）必须短到足以使生产函数的形状不因技术改变而变化；3）必须长到使必要的技术过程得以完成。

至少放松1）、2）、3）其中任何1个限制都是种长期生产函数。

（2）再论欧拉定理
若生产函数满足一阶齐次性，即)()(x x f t t f k =，则)()(1x x kf f x i n
i i =∑=，
每种投入品按其边际产量的价值支付，正好等于k 倍的总产出。

（3）规模报酬
对改变比例的报酬，重要度量包括每种投入的边际产出
)()(x x i i f MP =与平均产出i i i x f AP /)()(x x =，i x 的投入产出弹性度量了产
出对投入的百分之一变化所做出的的反应：
)(/)()(x x x f x f i i i =μ=)(/)(x x i i AP MP
这是种局部度量。

技术的规模性质要么被局部的定义，要么被全域性的定义。

全局性的规模报酬有如下几种类型：
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f =，称为规模报酬不变；
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f >，称为规模报酬递增；
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f <，称为规模报酬递减。

许多生产函数不满足全局规模报酬，而在一定产出范围内，许多技术展现出递增、不变及递减的规模报酬，此时定义局部标准就比较有用，表述出在全部投入增加1%的条件下，出现的瞬时产出的百分比变化，即规模弹性（局部性规模报酬）。

在点x 处的规模弹性被定义为：
t t f f x f t i i t log /)(log ))(/)((lim )(1
1∂∂==∑-→x x x x μ 当1)(=x μ时，规模报酬是局部性不变，1)(>x μ时，规模报酬是局部性递增，1)(<x μ时，规模报酬是局部性递减。

投入的规模弹性与产出弹性有如下关系：∑==n i i 1
)()(x x μμ。

【例题】检查具有可变规模报酬的生产函数121)1(---+=βαx x k y 。