例题：已知随机变量θ 在区间（-π ～ π ）均匀分布。求θ 和2sin θ 的均值和方差。 解： θ 在区间（-π ～ π ）均匀分布，则θ 的概率密度函数 为f(θ )=1/2 π , -π < θ < π ；f(θ )= 0, θ 取其它值时。 θ 的均值：
E[ ] f ( )d
⑥ x5 ≦ x﹤ x6 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 ⑦x6 ≦ x时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x6) = 5/6 +1/6 =1。 依此画出F(x) ～x波形如下： P(x) 1/3
第 3 章 随机信号分析
2.1 随机信号分析基础 2.2 随机信号的统计特性 2.3 随机过程的一般表述 2.4平稳随机过程 2.5平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.6高斯随机过程 2.7窄带随机过程
2.8正弦波加窄带高斯噪声
2.9随机过程通过线性系统
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2.2 随机信号的统计特性 一、概率


④ 随机变量X的函数g(x)的期望为 E[g(x)]= …………X为连续随机变量 g ( x) f ( x)dx

E[g(x)]=
g ( x ) P( x x ) g ( x ) P( x )
i 1 i i i 1 i i


… X为离散随机变量
⑵原点矩 n阶原点矩：E[xn]= 2阶原点矩：E[x2]=
2

④D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
⑷联合矩 联合原点矩：E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合 原点矩，反映X和Y的关联程度。 当n=k=1时， E[XY]称为互相关函数或相关矩。

E[XY]
联合中心矩： E {(X-E[X])n (Y-E[Y]) k} 当n=k=1时，E {(X-E[X]) (Y-E[Y])}=CXY …协方差 E {(X-E[X]) (Y-E[Y])}= E {(X Y - Y mx- X my+mxmy)} = E[XY]- E[X] E[Y] =RXY－mxmy ∴ CXY=RXY－mxmy
f ( )d
x2
x
④P(x1≦x ≦x2)= P(x ≦x2) －P(x≦x1)=

f ( x ) dx
x1
4、多维随机变量：如 二维 两个随机变量X、Y，其可能取值为x、y，将两 个事件(X ≦x)和(Y ≦y)同时出现的概率定义为 二维随机变量X、Y的二维（联合概率）分布 函数，F( X,Y)。即F( X,Y)=P(X ≦x, Y ≦y) 若二维分布函数F( X,Y)是连续的，且二阶混合偏 导数存在，则定义 2 F ( x , y )
2 2
2
3E[g(x)]=2sin θ 的均值：


g ( x) f ( x)dx

1 2
三角函数在一个 周期内的均值为0
E[2 sin ] 2E[sin ] 0
1 d ( cos ) | 0 E[cos ] E[cosn ] 0 E[sin ] E[sin n ] 0


x

n
f ( x)dx
为X的均方值。
x 2 f ( x)dx
1阶原点矩： E[x]= xf ( x)dx 为X的期望。 ⑶中心矩 n n]= n阶中心矩：E[(x-mx) ( x mx ) f ( x)dx

1阶中心矩： E[(x-mx)1]= E[x] -E[mx]= mx- mx= 0
P(A)表示随机事件A发生的概率。 必然事件： P(A)=1 不可能事件： P(A)=0 0≦ P(A) ≦1 全概率公式：互不相容事件A1、A2 、…、AN ，
P( A ) 1
k 1 k
N
条件概率：A发生条件下，B发生的概率P(B/A) 为： P(B/A)=P(A,B)/P(A) P(A,B)为A，B都发生的概率。
1/6
1/6
1/6
1/12 1/12
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
F(X)波形图 1 5/6 2/3 1/3 0 0 1/12 x1 1/6
x2
x3
x4
x5
x6
x
F(x)性质： ① 0 ≦ F(x) ≦ 1 ② F(-∞)=0， F(∞)=1 ③ F(x)单调增，即：若x1 ≦ x2，则F(x1) ≦ F(x2) ④ F(x)右连续。
X P(xi)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1/12 1/12 1/6 1/3 1/6
1/6
P(xi)表示x=xi的概率P(x=xi)。
在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率 更有意义。因此定义：
分布函数：随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)
为X的（概率）分布函数。记为F(x)= P(X ≦x)。 F(x)是关于x的函数。如取x=x3 ,即 F(x3)= P(X ≦x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3
2阶中心矩： E[(x-mx)2]= ( x mx ) f ( x)dx 2 2-2 m x+m 2] = x =D[x] = E[x x x = E[x2]-2mx2+mx2 = E[x2]- mx2 = E[x2]- E2[x] 2 x 2阶中心矩称为“方差”，用 或 D(x)表示。反 映随机变量X相对于统计平均值mx的分散程度。 性质：① D[x] = E[x2]- E2[x] ② D[a]= E[a2]- E2[a] =0 ③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax] =a2{ E[x2]- E2[x]}= a2D[x]
E[2 sin ] 2 sin f ( )d 2 sin
2sin θ 的均方值：

E[(2 sin ) 2 ] (2 sin ) 2 f ( )d 4 sin 2
1 1 (1 cos 2 )d [ 1 sin 2 ] | 2 2 或： E[(2 sin )2 ] E[4 sin 2 )] 2E[1 cos2 ] 2
⑹随机变量基本运算规则 ① E[a]= a a为常数 ② E[ax]=a E[x] ③ E[X+Y]= E[X]+ E[Y] 2 x = D[x] =E[(x-mx)2] = E[x2]- E2[x] ① D[a]= E[a2]-E2[a] =0 ② D[ax]= E[a2x2]-E2[ax] =a2{ E[x2]-E2[x]}= a2D[x] ③ D[X+Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
θ 的均方值：
2 2


1 2

d
1 2

2 2
|
0
E[ ] f ( )d


2 1 2
d
1 2

3 3
|

2
3
θ 的方差：
D[ ] E[ ] E [ ]
5、随机变量的数字特征 ⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。 mx=E[x]= xf ( x)dx …………X为连续随机变量


E[x]= xi P( x xi ) xi P( x… X为离散随机变量 i) i 1 性质： i 1 ① E[a]= a （ a为常数） ② E[ax]=a E[x] ③ E[X+Y]= E[X]+ E[Y] （X、Y均为随机变量） ④ 随机变量X的函数g(x)的期望为
x y
当rxy=0时， X与Y不相关。 ⑸统计独立与不相关：是两个不同的概念。 若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。 若两随机变量统计独立，则它们必然是不相关的。 也满足： RXY= E[XY]= E[X] E[Y]及CXY= rxy=0 不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0 但X与Y不相关，不一定统计独立。

xyf ( x, y)dxdy R

xy
当CXY=0时，称X与Y不相关。
X与Y不相关时，① CXY= E[XY]- E[X] E[Y]=0 ②RXY =E[XY]= E[X] E[Y] ③D[X±Y]= D[X]+ D[Y] C xy 归一化协方差：rxy（或 xy） =
①x﹤ x1时， F(x) =P(X ≦ x ﹤x1)=0。 ② x1 ≦ x﹤ x2 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)=1/12 ③ x2 ≦ x﹤ x3 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6。 ④x3 ≦ x﹤ x4 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3。 ⑤ x4 ≦ x﹤ x5 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3。
3、概率密度函数f(x) 若F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义
dF(x) dx
f ( x)
为随机变量x 的概率密度函数。
f(x)的性质： ①非负，即 f(x) ≧0 ② F(x)=P(X≦x)= (因为f(x)为F(x)的导数) ③ f ( x)dx F () 1